Conteo de bucles: ¿qué sucede si el gráfico no es plano?

Normalmente se afirma que ℏ cuenta el número de bucles en un diagrama conectado. Por ejemplo, QFT de Weinberg, Vol.II, ecuación 16.1.10. Esto se basa en el hecho de que para un diagrama con I líneas internas y V vértices, el número de vueltas es

(1) L = I − V + 1

Ahora, esta ecuación es esencialmente la fórmula de Euler para gráficos planos . Sin embargo, tal fórmula solo es válida para gráficos planos, entonces, ¿cómo le damos sentido a ( 1 ) para gráficos no planos? ¿Cómo demostramos ℏ cuenta el número de bucles en un diagrama arbitrario (conectado), sin importar si es plano o no?

Vea la segunda parte de esta respuesta mía .

Respuestas (1)

El punto clave es que, como señala ACM en esta respuesta suya , la fórmula para un gráfico general es solo la característica de Euler :

V − mi + F = 2 ( 1 − gramo )
dónde gramo es el género del gráfico . Los gráficos planos son, por definición, aquellos con gramo = 0 .

Planar o no, es fácil ver que el número de bucles independientes de un gráfico arbitrario es

L = F − 1 + 2 gramo
y por lo tanto
L = mi − V + 1
independientemente de gramo . ◻

Nota: el número de bucles L es F − 1 (porque la cara "en el infinito" no se cuenta como un bucle) más 2 gramo , porque cada identificador le permite agregar un ciclo sin intersecciones. De este modo, L = F − 1 + 2 gramo , como se afirmó anteriormente.

Incluso si la respuesta de ACM esencialmente responde a mi pregunta, realmente no quiero eliminar la publicación porque la termodinámica superó recientemente a la teoría del campo cuántico y quiero que la última etiqueta recupere su posición. ¡Necesitamos más preguntas QFT!
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