¿Cómo probar la propiedad útil del logaritmo de generar funcional en QFT?

Suponga que la funcional generatriz viene dada por la suma de todos los diagramas posibles, es decir

$$Z(J)=\sum_{n_i} D_{n_i}.$$

Además, suponga que cada diagrama D está dado por un producto de diagramas conectados$C_i$, es decir, un diagrama D se puede desconectar. Escribiremos esto como

$$D_{n_i}=\prod_i\frac{1}{n_i!}C_i^{n_i},$$

donde dividiendo por$n_i!$cantidades para un factor de simetría proveniente de intercambios de propagadores y vértices entre diferentes diagramas. Combinando esto con nuestra primera expresión, obtenemos

$$Z(J)=\sum_{n_i}\prod_i\frac{1}{n_i!}C_i^{n_i}.$$

Con alguna manipulación, se puede demostrar que esto es equivalente a

$$Z(J)=\exp\left(\sum_i C_i\right).$$

Tomar el logaritmo en ambos lados te da la expresión deseada.

Una interpretación intuitiva de las notas de la conferencia de Timo Weigand :

Suponer$iW[J]$contiene todos los diagramas conectados, entonces todos los diagramas conectados y desconectados posibles se pueden mostrar como productos de$iW[J]$:

$$\frac{Z[J]}{Z[0]} = 1 + iW[J] + \frac{1}{2!} {(iW[J])}^2 + \frac{1}{3!} {(iW[J])}^3 + ... = e^{iW[J]}$$

Entonces

$$iW[J] = ln \frac{Z[J]}{Z[0]}$$

Esta interpretación es igual a la respuesta de Frederic, pero expresada en orden inverso.