Introducción del vector potencial AμAμA_{\mu} para la invariancia de calibre local del campo escalar complejo lagrangiano [duplicado]

En Ryder, al intentar restaurar el local$U(1)$simetría de calibre del campo escalar complejo$\phi=\phi_1+i\phi_2$, el lagrangiano final consta de las siguientes cuatro partes:

$$L_0=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^*)-m^2\phi^*\phi$$ que es la partícula libre Lagrangiana, $$L_1=-eJ^{\mu}A_{\mu}$$ que es donde el $A_{\mu}$es presentado, $$L_2=e^2A_{\mu}A^{\mu}\phi^*\phi$$ y $$L_3=-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$ con $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$, que es calibre invariante. Encima de $L_0$, el adicional $L_1$y $L_2$parece ser bastante natural. Sin embargo, para el $L_3$parte, no me parece necesario, mientras que el argumento de Ryder es que "el campo $A_{\mu}$presumiblemente debe contribuir por sí mismo al Lagrangiano". Si ahora miramos hacia atrás, sabemos que el $L_3$término en realidad nos da las ecuaciones de Maxwell. pero todavía no estoy convencido por el argumento de Ryder. Entonces la pregunta es ¿cómo sabemos que $A_{\mu}$debe contribuir al lagrangiano?