Introducción al contenido físico de representaciones adjuntas

El subíndice es simplemente el cargo de la representación dada bajo el$U(1)$, la hipercarga en este caso. Todas las representaciones unitarias irreducibles de$U(1)$son unidimensionales y solo mapean el$e^{i\alpha}$elemento de$U(1)$(a$1\times 1$matriz) a$e^{iQ\alpha}$, su potencia, donde el exponente contiene el factor de la carga$Q$.

Uno necesita estudiar las representaciones de los grupos de Lie para poder producir descomposiciones como la suya. Tomemos, por ejemplo, el álgebra de Lie en la física de partículas de Howard Georgi, un libro de un pionero de GUT y mi ex colega en Harvard. Por supuesto, también hay libros mucho más formalmente orientados matemáticamente. En muchos de ellos, llegar a las descomposiciones necesarias en la construcción de modelos GUT podría ser difícil. Pero si realmente comprende cómo se definen las representaciones, los productos tensoriales, las cargas, los generadores, las representaciones irreducibles, etc., es una cuestión de razonamiento matemático que puede hacer usted mismo para derivar descomposiciones similares.

Toma este en particular. El$SU(5)$la representación adjunta puede considerarse como una matriz hermitiana$M$y la acción del elemento de grupo$G\in SU(5)$es simple

$$M \mapsto G M G^{-1}$$ Tenga en cuenta que hay dos copias de $G$y $G^{-1}=G^\dagger$porque es unitario.

el hermitiano$5\times 5$matriz tiene 25 entradas reales independientes. Una matriz general tendría 25 entradas complejas, pero las que están debajo de la diagonal principal están dadas por las que están arriba de la diagonal principal. Y las entradas diagonales son reales, por lo que contienen "la mitad de los parámetros reales". Para resumir, exactamente la mitad de los parámetros sobreviven a la condición de hermiticidad.

La representación adjunta real de$SU(5)$Opuesto a$U(5)$es solo de 24 dimensiones. El elemento del grupo de Lie tendría un determinante unitario (a priori un número complejo con valor absoluto igual a uno). Sin embargo,$M$es del álgebra de Lie, por lo que la condición determinante se traduce a${\rm Tr}(M)=0$. La matriz no tiene rastro.

Ahora, inserte el grupo Modelo estándar en este$SU(5)$. El$SU(3)$y$SU(2)$elementos están incrustados simplemente por una matriz de bloques diagonales con un$3\times 3$bloque en la esquina superior izquierda que representa el$SU(3)$informacion y otra$2\times 2$bloque en la esquina inferior derecha que representa el$SU(2)$elemento. Esta incrustación deja en claro que estamos dividiendo los vectores con 5 componentes en 3+2 componentes.

De manera similar, las 24 o 25 entradas de la matriz cuadrada se dividen en cuadrados y rectángulos,$3\times 3$,$2\times 3$y en la siguiente fila gruesa$3\times 2$y$2\times 2$. Se supone que debes dibujar un$5\times 5$cuadrado y divídalo en estos cuatro cuadrados o rectángulos.

el 25 de$U(5)$simplemente se descompondría en estas cuatro representaciones, pero no serían del todo irreductibles. el rastro de la$3\times 3$bloque cuadrado en la esquina superior izquierda y el rastro de la$2\times 2$el bloque en la esquina opuesta puede estar separado. En la representación de 24 dimensiones de$SU(5)$, uno de estos dos rastros se elimina por lo que solo queda uno. Es el$(1,1)$representación en su lista.

De lo contrario, las cuatro representaciones restantes corresponden exactamente a los cuadrados y rectángulos. El$3\times 3$cuadrado te da la$(8,1)$: es el mismo cuadrado que el original para$SU(5)$pero más pequeño Obviamente solo se transforma bajo el$SU(3)$transformaciones que mezclan las tres primeras filas y las tres primeras columnas. es el adjunto del$SU(3)$y$8=3^2-1$Muy parecido$24=5^2-1$. Similarmente$(1,3)$viene del adjunto de$SU(2)$solo afectado por la$SU(2)$transformaciones y$3=2^2-1$. Ese es el cuadrado inferior derecho.

Luego tienes los elementos diagonales fuera de bloque que tienen tamaño$3\times 2$entonces obviamente tienen que transformarse como$(3,2)$, el producto tensorial de las representaciones fundamentales de la$SU(3)$y$SU(2)$grupos Hay dos representaciones de este tipo: encima de la diagonal y debajo de la diagonal. Son complejos conjugados entre sí. porque las representaciones$3$y$2$de los grupos más pequeños son reales, la única influencia de la conjugación compleja es el signo opuesto de la$U(1)$cargar.

Finalmente, debo discutir los subíndices. La representación del rectángulo fuera de la diagonal que acabo de mencionar tiene una carga distinta de cero$Y$, el otro tiene el mismo valor con el signo opuesto. Todas las demás representaciones obviamente tienen que tener una carga de fuga bajo$U(1)$porque esos tres términos,$(8,1)$,$(1,3)$, y$(1,1)$no son más que la representación adjunta del grupo Modelo Estándar y todos los generadores de este grupo conmutan con el$U(1)$, la hipercarga.

Así que el único número que queda por explicar es el$5/6$cobrar por la representación rectangular, y$-5/6$para el complejo conjugado uno en el lado opuesto del cuadrado. La normalización de este cargo es una convención. Puede cambiar la escala de la hipercarga para adaptarla a sus convenciones. Sin embargo, las proporciones de las hipercargas son físicas. Y la hipercarga tiene que ser un múltiplo de${\rm diag}(+2,+2,+2,-3,-3)$porque tiene que conmutar con todas las matrices de$SU(3)$y$SU(2)$en los bloques, entonces en los bloques, debe ser un múltiplo de la matriz unitaria, y la hipercarga debe ser sin rastro para ser un generador de$SU(5)$, como mencioné, y$2\times 3 - 3\times 2$realmente cancela.

La normalización de este$U(1)$generador de hipercarga en la física se elige de tal manera que esté de acuerdo con las convenciones adoptadas en la física electrodébil. la hipercarga$Y$se define como la carga eléctrica promedio en un$SU(2)$multiplete electrodébil tal que$Q=Y+T_3$. A veces, la definición$Q=Y/2+T_3$se usa

En las teorías GUT, los bloques fuera de la diagonal del adjunto se convierten en partículas enormemente masivas debido a la ruptura de la simetría GUT. Estos$(3,2)$Los estados causan la desintegración de protones, por lo que es mejor que sean muy pesados. No podemos compararlos con ninguna partícula conocida.

Sin embargo, puede tomar una$5$de$SU(5)$, la representación fundamental, que debería producir los campos de quarks que son singletes electrodébiles: tenga en cuenta que esto$5$solo tiene componentes que se transforman bajo$SU(3)$o$SU(2)$. Así que es un quark hacia la derecha, por ejemplo. Su hipercarga es el promedio del mutliplet pero debido a que es solo el quark anti-down, en realidad, obtienes$Y=1/3$. De manera similar, los dos componentes restantes son un doblete electrodébil, como el electrón y el neutrino, cuyo$Y=((-1)+0)/2=-1/2$.

Los Estados$(3,2)$en el descompuesto$SU(5)$adjunto viene de$5\otimes \bar 5$y las piezas fuera de la diagonal surgen de$3\otimes \bar 2$entonces el$Y$de la primera debe agregarse a$-Y$del segundo factor y se obtiene$Y=-1/3-1/2=-5/6$. Tenga en cuenta que la convención$Q=Y+T_3$sin el factor de$1/2$se utilizó. Obtener los signos y factores de$2$derecho puede ser complicado, pero espero que sea esencialmente correcto.