¿De dónde viene la ruptura de simetría GUT U(1)U(1)U(1)?

1. Árbitro. 1 no parece mencionar una ruptura de simetría$U(1)$que pertenece a la parte de$SU(5)$que no está en el modelo estándar. En esta respuesta, supondremos que OP realmente está preguntando sobre la hipercarga débil $U(1)$factor de calibre del modelo estándar.

2. En el nivel de álgebra de Lie, recuerde que el álgebra de Lie$su(n)$consiste en Hermitian traceless$n\times n$matrices y tiene rango $n-1$. En la inclusión

   $$\underbrace{su(n)}_{\text{rank } n-1} \oplus \underbrace{su(m)}_{\text{rank } m-1} \oplus u(1)~\subset~ \underbrace{su(n+m)}_{\text{rank } n+m-1},$$ la subálgebra abeliana máxima [de hermítica diagonal sin rastro$(n+m)\times(n+m)$matrices] es igual en ambos lados. El álgebra de Lie del lado izquierdo (derecho) es reductivo ( simple ), respectivamente. Un generador de Cartan sin rastro para lo anterior.$u(1)$es
   $$\begin{pmatrix} -m\mathbb{1}_{n\times n} & \mathbb{0}_{n\times m} \cr \mathbb{0}_{m\times n} & n\mathbb{1}_{m\times m} \end{pmatrix}~\in~su(n+m).$$

3. Ahora consideremos a nivel de grupo. Definir

   $$k~:=~{\rm gcd}(n,m), \quad n^{\prime}~:=~n/k \quad\text{and}\quad m^{\prime}~:=~m/k,$$ para que los enteros$n^{\prime}$y$m^{\prime}$son coprimos. El homomorfismo del grupo de Lie $$G~:=~SU(n) \times SU(m) \times U(1)~\ni~ (g,h,\alpha)~\stackrel{\Phi}{\mapsto}~\begin{pmatrix} \alpha^{-m^{\prime}}g & \mathbb{0}_{n\times m} \cr \mathbb{0}_{m\times n} & \alpha^{n^{\prime}} h \end{pmatrix}~\in~ SU(n+m)$$ no es inyectable . De hecho, el núcleo $${\rm Ker}(\Phi) ~\cong~\mathbb{Z}_{nm/{\rm gcd}(n,m)}$$ es generado por los elementos $$\left(e^{i2\pi j/n}\mathbb{1}_{n\times n},~e^{-i2\pi j/m}\mathbb{1}_{m\times m},~e^{i2\pi jk/nm}\right)~\in~G, \quad j~\in~\{1,\ldots,k\}.$$ el grupo de la mentira$G$no es un subgrupo de$SU(n+m)$, pero el grupo cociente $$G/{\rm Ker}(\Phi) ~\cong~G/\mathbb{Z}_{nm/{\rm gcd}(n,m)}$$ es un subgrupo de$SU(n+m)$.

Referencias:

1. JC Baez, Colectores de Calabi-Yau y el modelo estándar, arXiv:hep-th/0511086 .