Intersección de líneas de campo eléctrico donde las dos líneas tienen la misma pendiente en la intersección

Hay dos propiedades que se pueden leer en una pantalla de líneas de campo eléctrico:

• la direccion del campo

• la fuerza del campo (hasta una constante de proporcionalidad)

La primera es tangente a la línea de campo, o algún tipo de promedio ponderado de las tangentes a las líneas de campo cercanas. Esta es la propiedad que generalmente se invoca para mostrar que no pueden cruzarse (no pueden apuntar en dos direcciones a la vez, ¿ves?). Has derrotado más o menos ese argumento.

Pero consideremos la segunda propiedad: la fuerza local del campo eléctrico es inversamente proporcional a la distancia entre las líneas en esta región del espacio. A medida que las líneas propuestas se precipitan una hacia la otra, esa distancia se reduce a cero, con la consecuencia de que la fuerza del campo aumenta sin límites. Otra conclusión no física.

Puede organizar una situación física que se aproxime a su dibujo obteniendo intensidades de campo muy altas en un abrir y cerrar de ojos, pero no una en la que el dibujo sea exactamente correcto.

Aunque se basa en una intuición física correcta, la respuesta original aceptada no es matemáticamente sólida.

El verdadero problema de dos líneas de campo que se cruzan con la misma pendiente es que, en tal situación, se violaría la unicidad de las curvas integrales del campo eléctrico: del punto de contacto partirían dos líneas de campo diferentes. La ecuación de las líneas de campo eléctrico.${\bf r}(s)$($s$es un parámetro unidimensional) es:

$$\frac{{\rm d} {\bf r}}{{\rm d}s} = {\bf E}({\bf r}(s)).$$ Una condición suficiente para la unicidad local de la solución de este conjunto de ecuaciones diferenciales es la continuidad de Lipschitz local de las componentes del campo eléctrico. Por lo tanto, en un punto de no unicidad de las líneas de campo, el campo eléctrico no debería ser Lipschitz-continuo. Esto implicaría una variación localmente ilimitada del campo. Matemáticamente, la posibilidad de no Lipschitz puede excluirse para el campo eléctrico ya que el potencial eléctrico satisface la ecuación de Laplace y luego es una función armónica que es localmente Lipschitz porque es real-analítica.

Desde el punto de vista físico, uno podría traducir las propiedades matemáticas en el hecho de que la variación local ilimitada del campo eléctrico, a su vez, significaría la gran fuerza mencionada en la respuesta aceptada. Sin embargo, la razón no está directamente relacionada con la relación entre la densidad de las líneas de campo y la intensidad del campo. La verdadera razón está en la forma en que el campo eléctrico puede variar de un punto a otro, según lo rigen las ecuaciones de Maxwell.