Propiedades de las líneas de campo de un campo vectorial irrotacional

Acerca de las líneas de campo sin divergencia

No es necesario que las líneas de un campo sin divergencia estén cerradas. La divergencia cero implica que las líneas de campo no pueden terminar . Las curvas cerradas no tienen extremos, pero existen otras posibilidades, como líneas que se extienden infinitamente en ambas direcciones.

El resultado matemático relevante aquí es el teorema de Gauss . Para cualquier campo, dice que la integral de su divergencia en cualquier región del espacio es igual a la integral del campo sobre el límite de la región, el flujo de líneas de campo cruzando la superficie límite. Si encierra en una superficie de este tipo un punto en el que comienzan o terminan las líneas de campo, el flujo no se desvanece, por lo que la divergencia del campo no puede ser cero.

Para los campos magnéticos, la divergencia es cero y luego no hay puntos finales para sus líneas. Para los campos eléctricos, la divergencia es igual a la densidad de carga, por lo que sus líneas terminan en un punto con carga que no desaparece. El flujo de líneas a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada por ella.

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Una imagen geométrica de campos irrotacionales.

Así que tenemos una imagen de líneas de campo eléctrico que nacen y mueren en algunos puntos o regiones del espacio (cargados). Pero no hemos usado la propiedad de que es irrotacional.

Si está buscando alguna implicación geométrica de rotación cero, una forma de obtenerla es considerando las superficies que son ortogonales a las líneas de campo en cada punto. La existencia de estas superficies, incluso localmente, no está garantizada si nuestro campo no es irrotacional. Sin embargo, se pueden definir para algunos campos con rotación no nula. Por ejemplo, para el campo magnético alrededor de un alambre recto infinito, serían los semiplanos limitados por él. Una superficie así definida tiene una orientación: en cada punto, una de sus dos direcciones ortogonales está determinada por la dirección del campo en ese punto. Aunque no es una terminología estándar, permítanme llamarlos aquí " superficies de campo ". Surgirá una bonita analogía con las líneas de campo en el caso anterior.

Podemos imaginar superficies de campo con límites; es decir, hay curvas en el espacio en las que estas superficies pueden terminar. Por ejemplo, puede imaginarse una curva de este tipo y una familia de superficies compartiéndola como límite, del mismo modo que una familia de líneas de campo podría terminar en un punto. Si tomamos una curva cerrada orientada que envuelve una curva límite, la integral del campo sobre ella será proporcional al número de superficies de campo que la crucen, incluyendo un signo negativo para cada una que tenga orientación opuesta a la de la curva y un signo positivo en caso contrario. .

Hay una generalización del teorema de Gauss que es útil en este caso. Se llama teorema de Stokes . La versión que necesitamos ahora dice que la integral sobre una superficie de la rotación de un campo es igual a la integral del campo sobre el límite de la superficie, una curva cerrada. Suponga que la superficie sobre la que estamos integrando corta una curva límite. Por lo tanto, al integrar la rotación estamos contando las superficies de campo que cortan su límite.

Para campos eléctricos (en el caso estático) el rotacional es cero. Por lo tanto, siguiendo el razonamiento anterior, podemos concluir que las superficies de campo eléctrico no pueden terminar .

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Una formulación más precisa de la segunda parte

La imagen de arriba se puede formular con mayor precisión usando formas diferenciales y el teorema de Frobenius. La idea no es utilizar el hecho de que un campo libre de divergencia tiene un potencial, sino trabajar con objetos geométricos que puedan entenderse intuitivamente, como lo son las líneas de campo. En particular, queremos entender qué son estas superficies de campo y aprender algo sobre su existencia.

En general, cualquier no evanescente$1$-forma$\omega$en un$n$-variedad dimensional$M$define en cada punto$p\in M$a$(n-1)$-subespacio dimensional$S_p$del espacio tangente$T_pM=\mathbb{R}^3$como$S_p=\{v\in T_pM:\;\omega(v)=0\}$. Esta asignación uniforme de subespacios del espacio tangente a cada punto se denomina distribución.

Una pregunta que podemos hacernos acerca de una distribución es si podemos encontrar una familia de$(n-1)$subvariedades -dimensionales tales que su espacio tangente en cada$p$es$S_p$. Si podemos, se dice que la distribución es integrable. Para nuestro caso, necesitaremos un caso particular del teorema de Frobenius : el enunciado de que si una forma diferencial es cerrada, entonces su distribución asociada es integrable.

Ahora, el campo eléctrico se puede ver como un$1$-forma$E=E_xdx+E_ydy+E_zdz$en el múltiple$M=\mathbb{R}^3$. La distribución asociada con$E$no es más que la familia de planos dada por ortogonalidad al campo eléctrico en un punto. La condición de que su rotación sea cero es entonces simplemente$dE=0$. Entonces, por el teorema de Frobenius, el ($2$-dimensionales) superficies que son tangentes a los planos$E$define existir. Estas son solo las "superficies de campo" que se usan arriba.

Si desea la intuición física sobre el flujo, en lugar de las líneas de campo, el artículo de Wikipedia sobre vorticy tiene algunas imágenes y gifs agradables. La más clara (en mi opinión) es esta.

Las partículas diferenciales solo experimentan traslación en flujo irrotacional, mientras que se trasladan y rotan en flujo rotacional.

La propiedad más importante para el estudio del electromagnetismo es que un campo irrotacional es el gradiente de una función de potencial escalar (que en el caso del campo eléctrico es el negativo del potencial eléctrico).

Tampoco es cierto que un campo irrotacional solo pueda generarse a partir de fuentes puntuales; Consideremos, por ejemplo, una esfera de densidad de carga uniforme. Todas las líneas de campo producidas están dispuestas radialmente, por lo que el campo aquí también es irrotacional, pero no hubo cargas puntuales involucradas en ninguna parte.

Como probablemente_alguien señaló, un campo irrotacional puede expresarse localmente como el gradiente de una función potencial. Geométricamente, lo que esto significa es que hay una familia de superficies (de potencial constante) tal que el campo vectorial irrotacional siempre es perpendicular a ellas.

Pero para un campo vectorial arbitrario no siempre es posible construir una familia de superficies con esta propiedad. Como ejemplo, considere el campo vectorial$u(x,y,z)$

$$u_x = \cos z,\quad u_y= \sin z,\quad u_z = 0$$ no podrá construir superficies ortogonales ni siquiera en un vecindario pequeño.

Ahora bien, esta propiedad de poder construir superficies ortogonales no es exclusiva de los campos irrotacionales. Un campo vectorial que es una función arbitraria multiplicada por un campo irrotacional también tiene la propiedad. Este es el costo de hablar de líneas de campo que pierden algo de información sobre la magnitud del campo vectorial. Sin embargo, lo que es necesario para esta propiedad geométrica es que la componente del rizo que está en la dirección del propio campo debe desaparecer.

Conocemos estos:

$$\text{In free space:} \left\{ \begin{array}{l} \nabla\times\mathbf{E}=0 \\ \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0 \\ \end{array} \right. \ \ \ \ \ \ \text{In matter:} \left\{ \begin{array}{l} \nabla\times\mathbf{D}=\nabla\times\mathbf{P} \\ \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{f}/\epsilon_0 \\ \end{array} \right.$$

Donde el desplazamiento eléctrico está definido por$\mathbf{D}:=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$.

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$$\nabla\times\mathbf{E}=0 \implies \mathbf{E}=-\nabla V$$

Por definición,

$$dV=\nabla V\cdot d\mathbf{l}$$

Así que si$d\mathbf{l}$es perpendicular a$\nabla V$, V no cambiará. Esto significa:

En 2D, si comienza desde cualquier punto del plano, moviéndose en la dirección perpendicular a las líneas de campo, debe formar un bucle cerrado. Porque la superficie en la que se encuentra debe cruzarse con la superficie equipotencial asociada con el potencial en su posición. Y debe existir un circuito cerrado en ese plano en el que todos los puntos comparten el mismo potencial con el de su posición. Eso es porque las superficies equipotenciales son cerradas, sin importar si son infinitas o no.

En 3D, si comienza desde cualquier punto en el espacio, barriendo cualquier punto posible en su ruta perpendicular a las líneas de campo, debe hacerlo desde una superficie cerrada.

esto no vale para$\mathbf{D}$a menos que puedas probar$\mathbf{P}$es irrotacional, es decir, probar que tiene estas propiedades. Esto se hace a menudo por simetría.

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Por definición,

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\lim_{\Delta V\to 0}\left[\frac{\oint_\mathcal{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}}{\Delta V}\right]=\rho/\epsilon_0$$

Esto significa que si consideras una superficie cerrada muy pequeña, las líneas que entran son exactamente la misma cantidad que las líneas que salen de la superficie; si no hay carga encerrada por la pequeña superficie. Esto significa que esas líneas deben ser continuas en un espacio sin carga.

De hecho, la divergencia es una medida de fuentes. Entonces, si tiene discontinuidades en algunos puntos, en los que las líneas de salida son más que las líneas de entrada, debe estar en un punto de origen positivo.

Esto es válido para$\mathbf{D}$también, siempre y cuando descuides los cargos atados, esos que no son muy reales, pero casi nuestra creación.

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Por aplicación de la ley de Stokes sobre$\nabla\times\mathbf{E}=0$, también obtenemos:

$$\oint_\mathcal{P}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$$

Pero esto no es ninguna ayuda para nuestras líneas de campo sentido uno. En su lugar, podemos jugar con la fórmula del gradiente para lograr otra regla no muy diferente de la primera regla. :D

Sabemos, por$\mathbf{E}=-\nabla V$, las líneas de campo deben apuntar a la disminución local más pronunciada en la cantidad de potencial. A si vas a donde$\mathbf{E}$te dice que tu potencial debería disminuir más rápido. Entonces, si resultó que su potencial no ha cambiado, o incluso ha aumentado, algo debe estar mal en las líneas de campo.

Un poco de rastreo te ayudará a asegurarte de que lo que se dibuja frente a ti existe en el mundo real.

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Pero el primero y el tercer punto suponen un sentido previo de potencialidad.

Mirando esta integral:

$$V(\mathbf{r})=\frac1{4\pi\epsilon_0}\int\rho(\mathbf{r'})\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|^3}d\tau'$$

Parece que el potencial es como una medida de herencia positiva que decae al alejarse más y más bruscamente .

Si estás cerca de una carga positiva, heredarás más positividad. Si te alejas más de eso, tu positividad disminuirá un poco rápido.

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Creo que esto es lo máximo que podría proporcionar. Y que este es probablemente el final y no puedes cavar más para tener más sentido. ¡En lugar de esto, uno podría apegarse a las matemáticas para descubrir nuevos hechos!

Buena suerte.

Con respecto al campo (a diferencia de las líneas de campo , como usted preguntó), los siguientes son equivalentes (consulte el libro E&M de DJ Griffiths, Capítulo 1, "Teorema 1"):

1. $\nabla \times \mathbf{F} = 0$en todos lados.
2. $\int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \mathbf{F}\cdot\text{d}\mathbf{l}$es independiente del camino desde$\mathbf{a}$a$\mathbf{b}$.
3. $\oint\mathbf{F}\cdot\text{d}\mathbf{l} = 0$para cualquier lazo cerrado.
4. $\mathbf{F}$es el gradiente de alguna función escalar.

En cuanto a las líneas de campo , se deduce de (3) que no pueden cerrarse sobre sí mismas, ya que si lo hicieran, podrías hacer un bucle cerrado que sigue una línea de campo cerrada; si te integraste$\oint\mathbf{F}\cdot\text{d}\mathbf{l}$sobre tal bucle obtendría algo distinto de cero. (Lo contrario NO es cierto: no puede inferir que si las líneas de campo nunca se cierran sobre sí mismas, entonces el campo es irrotacional).

Si, siguiendo (4), el campo vectorial es$\mathbf{E}$y defines la función escalar como el negativo del potencial electrostático$V$, es decir $\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla} V$, entonces puede inferir información sobre el potencial de las líneas de campo y, a la inversa, si conoce el campo potencial, puede inferir qué están haciendo las líneas de campo. Específicamente, las líneas de campo siempre apuntan en la dirección cuesta abajo más empinada, y qué tan juntas están las líneas de campo le indica qué tan pronunciado es el gradiente potencial en esa dirección. Los picos de potencial corresponden a regiones de carga positiva y los valles a carga negativa, por lo que las líneas de campo divergen de las cargas positivas y convergen en las negativas.

La idea que tengo es que para un campo irrotacional solo hay fuentes puntuales, donde las líneas de campo "nacen" y luego "regresan", pero no sé si esto es correcto y si es general.

Esto no está bien. No es necesario que las fuentes sean puntos, sino que pueden tener una densidad de carga distribuida, y si las líneas de campo "nacen" en una fuente (una densidad de carga positiva), no "regresan" a ella, sino que divergen hasta el infinito o convergen en otra. fuente negativa", o sumidero (una densidad de carga negativa).

Por el teorema de Gauss:

$$\int_V \underbrace{\nabla \cdot \vec{B}}_{=0} ~ dV= \int_{\partial V} \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$

Así por cada volumen compacto$V$y su superficie cerrada$A = \partial V$, la "suma" de las proyecciones de$\vec{B}$sobre las normales a la superficie$d\vec{A}$desaparece Por ejemplo, no hay un flujo neto de$\vec{B}$fuera de la superficie$A$. Por lo tanto, no hay fuentes (= producen flujo neto fuera de una superficie). Por lo tanto, las líneas de campo se cierran en puntos finitos (las líneas que van al infinito se pueden revelar, por ejemplo,$\vec{B} = \vec{e}_z$).

Similar por el teorema de Stokes:

$$\int_A \underbrace{\nabla \times \vec{E}}_{=0} \cdot d\vec{A} = \int_{\partial A} \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$$

Así para todo plano compacto$A$y su límite cerrado$\partial A$, la suma de la proyección de$\vec{E}$sobre la tangente de la frontera$d\vec{l}$desaparece Por ejemplo, no hay rizos presentes. Por lo tanto, no puede haber una línea de campo cerrada.