¿Cómo se definen las líneas de campo eléctrico?

"[…] ¿cómo para un número finito de líneas de campo en el espacio, la intensidad de un campo es proporcional al número de líneas de campo que pasan a través de un área de superficie?"

Si dibujamos n líneas radiales equidistantes hacia afuera desde un punto de carga positiva, el número por unidad de área que cruza una superficie esférica de radio r centrada en la carga será$\frac{n}{4\pi r^2}$, por lo que representará correctamente la ley del cuadrado inverso de la intensidad de campo. Podemos demostrar que lo mismo vale para el campo debido a más de una carga estática.

"[...] hay dos cargas positivas puntuales A y B. ¿Cómo dibujas las líneas de campo? ¿Dibujas algunos rayos radiales de A y algunos de B (con ángulos aleatorios entre ellos"?

¿Por qué ángulos aleatorios? Cerca de la carga en sí, el campo será radial y simétrico (si la carga es estacionaria), por lo tanto, distribuya las líneas por igual en todas partes.

"[…] y luego extender cada uno de los rayos bajo la condición de que la pendiente sea la dirección de la fuerza eléctrica?"

Así es. La definición de una línea de campo eléctrico es una línea cuya dirección en cada punto a lo largo de ella es la dirección del vector de campo eléctrico en ese punto. Con más de una carga puntual hay que encontrar la suma vectorial de sus campos en cada punto, para saber en qué dirección continuar la línea. Para la mayoría de los propósitos, puede salirse con la suya con una evaluación aproximada de la suma vectorial: ¡una muy buena práctica!

¿Cuántas líneas debes dibujar? Solo lo suficiente para el propósito, que generalmente es obtener una imagen aproximada de cómo varía el campo en magnitud y dirección alrededor de un conjunto de cargas.

No existe tal cosa como la densidad de las líneas de campo. A través de cada punto del espacio donde$\overrightarrow{E}( \overrightarrow{r} )$existe, pasa una línea de campo. Dado que hay un número innumerable de puntos en cualquier volumen, no se puede definir una densidad de líneas de campo (número de puntos por unidad de volumen). Las líneas de campo no tienen ningún significado físico. Pueden ser de alguna manera útiles para visualizar el problema en cuestión, pero nada más. Las ecuaciones de Maxwell son locales y no contienen ningún efecto de largo alcance como implicaría la física de líneas de campo. La única definición de líneas de campo es a través de su ecuación:

$$d \overrightarrow{E} \times d \overrightarrow{l} = \overrightarrow{0}$$ es decir, el campo eléctrico es tangente a una línea de campo a lo largo de toda la línea.