¿Podrían las 6 dimensiones adicionales en la teoría de supercuerdas ser un producto de dos variedades?

I) Aquí solo comentaré la historia tradicional de la teoría de las supercuerdas , digamos, desde la primera revolución de las supercuerdas en la década de 1980, y dejaré que otros incluyan desarrollos más recientes.

II) Tradicionalmente, la$10$-espacio objetivo dimensional$(M^{10},g^{(10)})$con una métrica$g^{(10)}$es visto como un producto

$$M^{10}~=~M^4 \times K^6$$ con métrica $g^{(10)}=g^{(4)}\oplus g^{(6)}$, dónde $(M^4,g^{(4)})$es el $4$-espacio-tiempo dimensional con un $4$-métrico $g^{(4)}$, que vemos y observamos; y $(K^6,g^{(6)})$es un compacto $6$Variedad riemanniana bidimensional , cuyas escalas de longitud características son tan pequeñas que hasta ahora ha evitado la detección experimental.

Mencionemos para más adelante que el mayor grupo de holonomía a$6$multidimensional de Riemann puede tener, es la$15$-grupo de mentira dimensional $O(6)$, que es localmente isomorfo a$SU(4)$.

III) Reformulemos ahora la pregunta de OP de la siguiente manera.

¿Podría el colector compacto$(K^6,g^{(6)})$ser un producto

$$K^6~=~K^{6-n}\times L^n$$ con métrica $g^{(6)}=g^{(6-n)}\oplus h^{(n)}$de un $(6\!-\!n)$-variedad dimensional $(K^{6-n},g^{(6-n)})$y un $n$-variedad dimensional $(L^n,h^{(n)})$, dónde $n=1,2,3$?

Argumentaré a continuación que eso no es posible.

IV) Nuevamente, para haber evitado la detección experimental, las dos variedades$K^{6-n}$y$L^n$ambos deben ser compactos. Ahora, otra parte de la sabiduría tradicional de las cuerdas es que para tener${\cal N}=1$supersimetría en$4$dimensiones del espacio-tiempo, el grupo de holonomía de$(K^6,g^{(6)})$debe ser el$8$-grupo de mentira dimensional$SU(3)$, véase, por ejemplo, Green, Schwarz y Witten, Teoría de supercuerdas, cap. 15. Véase también esta pregunta Phys.SE.

Caso$n=3$: El grupo máximo de holonomía de un$3$La variedad Riemanniana bidimensional es la$3$-grupo de mentira dimensional$O(3)$, entonces$K^6=K^3\times L^3$puede tener como máximo un grupo de holonomía$O(3)\times O(3)$, cual es$6$-dimensional, y por lo tanto demasiado pequeño para ser$SU(3)$. Por lo tanto, una variedad de productos$K^6=K^3\times L^3$está descartado.

Caso$n=2$: Un argumento similar descarta una variedad producto de la forma$K^6=K^4\times L^2$, porque el correspondiente grupo de holonomía máxima$O(4)\times O(2)$es solo$7$-dimensional.

Caso$n=1$: Finalmente, una variedad de productos de la forma$K^6=K^5\times L^1$se descarta porque$SU(3)$no es$^1$un subgrupo de$O(5)$.

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$^1$$SU(3)$no es un subgrupo de$O(5)$. Subgrupos máximos de$SO(5)$son isomorfos al$6$-grupo de mentira dimensional$SO(4)$.

Alternativamente: Si el álgebra de Lie$su(3)$es una subálgebra de$so(5)$, entonces la complejización$sl(3)=A_2$debe ser una subálgebra de$so(5,\mathbb{C})=B_2$, pero el sistema de raíces de$A_2$no cabe dentro del sistema de raíces de$B_2$. Contradicción.