Interpretación básica de la composición de observables y su medida

Tomando$C=A_1A_2....A_n$, el problema surge porque el subespacio del vector propio correspondiente a un valor propio de$C$no corresponde a los subespacios de vectores propios correspondientes a un valor propio de la$A_i$

Para ver eso, tomaremos un ejemplo con$C=A_1A_2$, con$A_1 = \sigma_x \otimes Id, A_2 = Id \otimes\sigma_x$. Entonces$C= \sigma_x \otimes\sigma_x$Tenemos la siguiente matriz:

La primera columna está formada por los vectores propios comunes y las otras columnas corresponden a los valores propios ($\pm$medio$\pm1$).

El subespacio correspondiente al valor propio$+1$de$\sigma_x \otimes\sigma_x$es$2-$dimensional y corresponde al primer y último vector propio.

Ahora, si sumamos el primer y el último vector propio, obtenemos el estado$|00\rangle+|11\rangle$, y debido a que el primer y el último vector propio tienen el mismo valor propio$+1$para$\sigma_x \otimes\sigma_x$, entonces$|00\rangle+|11\rangle$es también un vector propio con valor propio$+1$para$\sigma_x \otimes\sigma_x$.

Pero el problema es que el primer y el último vector propio no tienen el mismo valor propio para$\sigma_x \otimes Id$y$Id\otimes\sigma_x$, por lo que cualquier combinación de estos$2$Los vectores propios no pueden ser un vector propio para$\sigma_x \otimes Id$y$Id\otimes\sigma_x$. Y este es de hecho el caso de$|00\rangle+|11\rangle$

En primer lugar, creo que no planteé mi pregunta con la suficiente claridad: conozco las matemáticas detrás de los observables conmutables y sus valores propios, pero quería saber qué sucede en un experimento físico real. Quería saber si hay una conexión entre el valor propio$\lambda$de un estado propio preparado$\psi$de$C=A_1 \ldots A_n$y los resultados individuales$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$de las medidas de$A_1, \ldots, A_n$. La situación es clara si$\psi$es un vector propio común de$A_1, \ldots, A_n$pero no me quedó claro que pasa si$\psi$NO es un vector propio común.

La respuesta de Trimok no respondió directamente a mi pregunta, pero su ejemplo me dio una idea importante que me ayudó a resolver esto.

Uno de mis conceptos erróneos fue la idea de que un estado propio$|\psi\rangle$de$C=A_1 \ldots A_n$no cambia durante una medición de$C$por la relación matemática$C|\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle$. Pero esto no es necesariamente cierto. Por ejemplo, el estado$|00\rangle + |11\rangle$cambios durante la medición de$\sigma_x \otimes \sigma_x$: cada observador obtendrá$|0\rangle$o$|1\rangle$por lo que el estado después de la medición será$|00\rangle$o$|11\rangle$a pesar de$|00\rangle + |11\rangle$es un estado propio de$\sigma_x \otimes \sigma_x$al valor propio$+1$.

Creo que la conexión entre los diferentes valores propios es la siguiente. Dejar$|\psi\rangle$ser un estado propio de$C = A_1 \ldots A_n$al valor propio$\lambda$, pero no necesariamente tiene que ser un vector propio común de los observables$A_1, \ldots, A_n$. En general,$|\psi\rangle$se puede expresar como una combinación lineal de vectores propios comunes:

Ahora bien, ¿qué sucede si los observables$A_1, \ldots, A_n$se miden por separado (wrt$|\psi\rangle)$? Cada medida hará más pequeño el subespacio donde vive el estado medido: La medida de$A_1$obligará al estado$|\psi\rangle$cambiar a un estado$|\beta_1\rangle$dónde$\beta_1$es un valor propio de$A_1$. Pero todavía se puede expresar como una combinación lineal de vectores propios comunes de$A_2, \ldots, A_n$. Entonces la medida de$A_2$cambiará el estado a$|\beta_1, \beta_2\rangle$etcétera. Después de la medición de$A_n$nos quedamos con un estado propio común$|\beta_1, \ldots, \beta_n\rangle$y$\beta_1 \cdots \beta_n = \lambda$porque$|\psi\rangle$era originalmente una combinación lineal de vectores propios comunes que cumplen esta ecuación.

Entonces, la afirmación "El producto de los resultados individuales es igual al valor propio$\lambda$del estado propio$|\psi\rangle$de$C$todavía se mantiene en el caso, cuando$|\psi\rangle$no es un vector propio común. Este resultado intuitivo ahora está respaldado por un argumento correcto.

Solo como una nota al margen interesante: cuando un observable$C$es una composición de otros observables, por ejemplo$C=A\circ B$entonces esto no quiere decir que uno tenga que medir$B$y$A$consecutivamente para medir$C$.$C$puede representar una sola medida. Por ejemplo, tomemos$A=\sigma_x \otimes \sigma_y$y$B=\sigma_y \otimes \sigma_x$, entonces$C = (\sigma_x \otimes \sigma_y) \circ (\sigma_y \otimes \sigma_x) = \sigma_z \otimes \sigma_z$. Entonces$C$puede representar diferentes configuraciones experimentales: ya sea una medición consecutiva de$B$y$A$o una sola medición de dos qubits a lo largo del eje z. (Soy nuevo aquí y no sé si tales comentarios son bienvenidos aquí o se consideran molestos. Los elimino si alguien lo desea).