¿Cuál es el significado físico de la suma de dos observables que no conmutan?

Este es un tema aún abierto sobre la base de las teorías cuánticas.

Por lo general, solo se supone que para cada par de observables acotados$A,B$(operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert separable complejo) hay un tercer observable acotado$C$cuyos valores esperados son las sumas de los valores esperados de$A$y$B$, para cada estado dado$\psi$.

Desde$C=A+B$trivialmente satisface este requisito y los estados separan los observables, entonces$A+B$es el observable buscado.

Aquí el problema se vuelve doble.

Desde el punto de vista físico, un problema natural es

cómo medir$A+B$?

En otras palabras,

P1 ¿Para qué sirve un instrumento de medición?$A+B$si sabemos los de$A$y$B$?

Desde el lado matemático,

P2 ¿Cómo podemos construir la medida del valor de proyección (PVM) de$A+B$al conocer los de$A$y$B$?

Si$A$y$B$son compatibles, las respuestas son elementales. Con respecto a la cuestión anterior, podemos medir$A$y$B$en el mismo estado y el resultado de$C$es la suma de los resultados de$A$y$B$. (Si, en cambio, estamos interesados ​​en el estado posterior a la medición , entonces la situación se vuelve mucho más complicada y no hay una respuesta definitiva).

La respuesta a la segunda pregunta, cuando los observables son compatibles, se encuentra fácilmente aprovechando el PVM conjunto de$A$y$B$.

Si$A$y$B$no son compatibles, no hay una respuesta definitiva especialmente a la primera pregunta. Sin embargo, si$A$y$B$pertenecen a un álgebra de Lie de generadores de un grupo de simetría del sistema físico considerado, entonces también$A+B$es un generador de una simetría (aquí estamos tratando con observables ilimitados definidos en un dominio denso común de autoadjunción esencial). En ese caso$A+B$tiene un significado físico concreto y la física debería sugerir un instrumento de medida.

En cuanto a la última cuestión (para encontrar el PVM de$A+B$en términos del PVM de$A$y$B$para observables incompatibles), en colaboración con dos colegas, hemos publicado recientemente un artículo sobre esto que también incluye el caso de observables no compatibles ilimitados.

Existe un procedimiento para construir el PVM de$aA+bB$,$f(aA+bB)$(para una clase de funciones adecuadamente interesante$f$) y también de algunos otros operadores construidos a partir de$A$y$B$como su producto Jordan$\frac{1}{2}(AB+BA)$.

La parte final del trabajo proporciona algunas sugerencias sobre el tema anterior.

N.Drago, S. Mazzucchi, V.Moretti: Una construcción operativa de la suma de dos observables que no conmutan en la teoría cuántica y construcciones relacionadas Lett. Matemáticas. Phys , 110 (2020) 3197–3242 DOI: 10.1007/s11005-020-01332-7 arxiv.org/abs/1909.10974

La fórmula final, en mi opinión bastante sugerente, con varias hipótesis dice

En el caso de dimensión finita, la integral se convierte en una suma de los valores propios de$A$y$B$y los PVM están hechos de proyectores en los respectivos espacios propios.

Tu pregunta carece de enfoque. Todo lo que puedo hacer es darle un ejemplo de una suma de operadores que no conmutan que tiene sentido físico. la energía cinética$p^2/2m$y el potencial de interacción electromagnética$V$no conmutan y juntos forman el hamiltoniano de Schrödinger.

Si$Spec(A) = \{ a_1, a_2 \}$y$Spec(B) = \{b_1, b_2\}$entonces el experimento del par tiene espectro$\{ a_1 + b_1, a_1 + b_2, a_2 + b_1, a_2 + b_2 \}$.

No creo que esto sea ni siquiera formalmente correcto. Llevar$A = s_z = \frac\hbar2\left(\begin{array}{}1&0\\0&-1\end{array}\right)$y$B = s_x = \frac\hbar2\left(\begin{array}{}0&1\\1& 0\end{array}\right)$. Calcular el espectro de$A+B$y verifique que no satisface su condición.

Para responder a la pregunta en el contexto de este ejemplo: el significado físico de$A+B$es la medida de espín a lo largo de la$\vec{n}_x + \vec{n}_z$eje (multiplicado por$\sqrt{2}$, ser pedante)

Lo que usted llama "enfoque ingenuo" se ocupa de dos experimentos de partículas (de ahí el espacio$H\otimes H$) y lo que describe es en realidad una medida de$A+B$como un atajo para el operador$A\otimes \mathbb{I}+\mathbb{I}\otimes B$, para el estado del producto$\vert\phi\rangle\otimes \vert\phi\rangle$, dónde$\mathbb{I}$es la identidad de$H$. Su valor esperado es$\langle \phi \vert A\vert\phi\rangle +\langle \phi \vert B\vert\phi\rangle$( usando$\langle \phi \vert \mathbb{I}\vert\phi\rangle=1$) independientemente de la comparabilidad o no de$A$y$B$. Como tienes un estado de producto, la medida de$A$en la partícula 1 no puede influir en la medición de$B$en la partícula 2. ($A\otimes \mathbb{I}$y$\mathbb{I}\otimes B$viajar por cualquier$A$y$B$).

Si ahora tienes que medir la suma$A+B$para una partícula , la predicción involucrará probabilidades condicionales como$p(b|a)$(asumiendo$b$es un resultado de$B$y$a$el resultado es$A$obtenido previamente) y estos se simplifican sólo cuando$A$y$B$desplazarse. Esto no proporciona un experimento para medir$A+B$pero explique por qué el resultado esperado es diferente.

Matemáticamente, la medición sucesiva de$A$y$B$tiene un valor esperado

Después de la expansión, el primer término es simplemente$\langle \phi \vert A\vert\phi\rangle$y el segundo, utilizando$\sum_b b P_b =B$es

Sin embargo, en este esquema, el estado de salida será un vector propio de$B$y no de$A+B$...

Si$A$y$B$viajan comparten estados propios, y estos son también los estados propios de$(A+B)$: medir "A+B" dará el mismo resultado que medir "A" y luego "B" (o "B" y luego "A"). El operador$(A+B)$corresponde al observable que esperaría: medir la suma de "A" y "B" en una sola medición es lo mismo que la suma de las mediciones individuales (contiguas) de "A" y luego "B".

Si$A$y$B$no conmute entonces los estados propios de$(A+B)$normalmente no se comparten con$A$o$B$. El operador$(A+B)$todavía corresponde a lo observable$(A+B)$pero esto ya no es lo mismo que medir$A$y luego$B$. Si tiene una máquina de medición "A" y una máquina de medición "B", necesita una máquina de medición "A+B" completamente nueva y el hecho sorprendente sobre la mecánica cuántica es que los posibles resultados de esa máquina no son los mismos que los valores posibles que puede formar sumando los posibles resultados de la máquina "A" a los posibles resultados de la máquina "B".

Para ayudar a convencerte de por qué$(A+B)$es el operador para una sola medida de "A+B" piensa en cómo$\frac{P^2}{2m} + V$es el operador para una sola medida de energía total, y el operador se forma a partir de la relación física que esperamos para la energía cinética y potencial. Pero los posibles resultados de una medición de energía total son muy diferentes a la suma de una medición de energía potencial seguida de una medición de energía cinética: medir la energía potencial (también conocida como la posición) "estropeará" por completo su energía cinética posterior (también conocida como impulso) medida porque no conmutan.