¿Cómo se relaciona el principio de exclusión de Pauli con una superposición cuántica de estados?

El principio de Pauli establece que el estado fermiónico completo de muchos cuerpos debe ser antisimétrico ( es decir, tomar un signo menos) bajo la permutación de dos fermiones cualesquiera. Si tienes 2 fermiones ocupando dos estados$\psi$y$\phi$, entonces el estado de 2 fermiones será (hasta una fase general y normalización)

$$\psi(1)\phi(2)-\psi(2)\phi(1)\, .$$ Esto se generaliza a un determinante si tienes$n$partículas

No hay un número infinito de partículas. Por lo general, los estados$\phi,\psi$son ortogonales, por lo que no está claro qué quiere decir con "superposiciones ligeramente diferentes". Los coeficientes de cada término en la superposición no se pueden variar continuamente ya que

$$a\psi(1)\phi(2)-b\psi(2)\phi(1)$$ sólo es totalmente antisimétrica si$a=b$.

Tenga en cuenta que las funciones de onda que no interactúan forman un conjunto completo, de modo que la función de onda "verdadera" que incluye los términos de interacción se puede expresar como una combinación lineal de (posiblemente muchos) determinantes, cada uno individualmente completamente antisimétrico.

Para incluir el término de interacción, uno comenzaría con un conjunto de estados de una sola partícula.$\psi_m$y construir (en el caso de 2 partículas) las combinaciones antisimétricas

$$\begin{align} \psi_{mn}(1,2)=\psi_m(1)\psi_n(2)-\psi_n(1)\psi_m(2) \end{align}$$ Todos los estados antisimétricos tienen esta forma, por lo que un estado de 2 fermiones que incluya interacción sería del tipo $$\begin{align} \psi_k(1,2)=\sum_{m,n} c^k_{m,n}\psi_{mn}(1,2) \end{align}$$ con el$c^k_{m,n}$coeficiente de expansión del número de estado propio$k$del hamiltoniano con interacción en el plató$\psi_{mn}(1,2)$de estados antisimétricos que no interactúan.

Tenga en cuenta que

$$P_{12}\psi_k(1,2)=\sum_{m,n} c^k_{m,n}P_{12}\psi_{mn}(1,2) =\sum_{m,n} c^k_{m,n}\left(-\psi_{mn}(1,2)\right)=-\psi_k(1,2)$$ según sea necesario.

El espacio de los estados de espín de un solo electrón es bidimensional (atravesado, por ejemplo, por ARRIBA y ABAJO en cualquier dirección que desee elegir).

Por lo tanto (por álgebra simple) el espacio de estados de espín antisimétrico para un par de electrones es unidimensional (atravesado por el vector único$\hbox{UP}|\hbox{DOWN}-\hbox{DOWN}|\hbox{UP}$).

Aquí está el álgebra simple: Los estados$UU$,$DD$y$UD+DU$son claramente todos simétricos y mutuamente independientes linealmente. Eso deja como máximo una dimensión para el complemento ortogonal de los estados simétricos (a saber, los estados antisimétricos). También$UD-DU$es claramente antisimétrica, por lo que obtenemos al menos una dimensión.]

Por lo tanto, cuando proyecta el espacio de estado (y tiene en cuenta el requisito de Pauli de que el estado del conjunto debe ser antisimétrico), solo hay un estado de espín posible para un par de electrones.

Más álgebra simple muestra que el espacio de estados de espín antisimétricos para un triple (o más) de electrones es de dimensión cero, por lo que no deja ningún estado posible cuando proyectiza.

El principio de exclusión de Pauli establece que 2 fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado cuántico. En esencia, cuando tenemos partículas idénticas, las probabilidades serán invariantes ante el intercambio de partículas. En otras palabras, si tenemos 2 partículas una en estado$|{\phi}\rangle$y otro en$|{\psi}\rangle$entonces no podemos distinguir entre este y el estado en el que se encuentra el primero$|{\psi}\rangle$y el otro en$|{\phi}\rangle$. Hay dos maneras en que podemos hacer que esto suceda:

$$|{\phi}\rangle_1\otimes |{\psi}\rangle_2 \pm |{\psi}\rangle_1\otimes |{\phi}\rangle_2$$

Pauli dice que los fermiones son del tipo negativo. Y esto es extensible a muchas partículas, cambiando de lugar de dos en dos y poniendo un signo negativo. Esto es fácilmente aplicable usando el determinante de Slater .

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Llegando al comentario de Aaron, consideremos$N$Partículas que están en estado propio a lo largo de direcciones ligeramente diferentes.

Deja que el primer giro sea largo$z$y decimos que giramos$x$por un ángulo$-jd\theta$(en el sentido de las agujas del reloj), entonces el siguiente sería hacia arriba a lo largo$n(j)$dónde$j$es un número entero. Entonces uno de los estados (estado base) sería$|n(0)n(1)n(2)...n(N)\rangle$que por simplicidad denotamos por:

$$|0123...N\rangle$$ Tenga en cuenta que aquí hemos utilizado un sistema de valor posicional.

Pero como son fermiones, necesitamos antisimetrizar el estado, lo que hacemos por medio de un determinante de pizarra que representamos simbólicamente por:$\hat{\mathscr{S}}|0123...N\rangle$

Ahora bien, si queremos expresar nuestro estado base en términos de arriba y abajo a lo largo$z$, entonces tenemos que relacionarnos a lo largo$n(j)$subir a lo largo$z$. Esto se hace simplemente por el operador de rotación$\mathscr{D}(jd\theta,x)$actuando$|{\uparrow}\rangle$:

$$\mathscr{D}(jd\theta,x)|{\uparrow}\rangle = \cos{\left(\frac{jd\theta}{2}\right)}|{\uparrow}\rangle+ \sin{\left(\frac{jd\theta}{2}\right)} |{\downarrow}\rangle$$

Pero esta representación es complicada porque cuando intercambiamos una partícula en particular, debemos asegurarnos de cambiar tanto las subidas como las bajadas correspondientes.