Variación de una exponencial ordenada en el tiempo

Considere la exponencial ordenada en el tiempo (línea de Wilson):

$$U(t_{f},t_{i}) = \mathcal{T}\text{exp}\left(-i\int_{t_{i}}^{t_{f}}\mathcal{A}(t)dt\right)\tag{1}$$

Dónde$\mathcal{A}(t)$es alguna función matricial (conexión de calibre), y$\mathcal{T}$denota el orden del tiempo.

Quiero calcular la variación de primer orden$\delta U(t_{f},t_{i})$, bajo una transformación:

$$\mathcal{A}\mapsto\mathcal{A}+\delta\mathcal{A}\tag{2}$$

Probablemente haya una manera inteligente de hacer esto, pero todo lo que he podido hacer hasta ahora es trabajar con la definición. He encontrado lo siguiente.

$$\begin{align*} U(t_{f},t_{i})\mapsto & \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^{n}}{n!}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\cdots \int_{t_{i}}^{t_{f}}\mathcal{T}\left((\mathcal{A}(t_{1}+\delta\mathcal{A}(t_{1})\cdots(\mathcal{A}(t_{n}+\delta\mathcal{A}(t_{n})\right)dt_{1}\cdots dt_{n} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^{n}}{n!}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\cdots \int_{t_{i}}^{t_{f}}\mathcal{T}\left(\mathcal{A}(t_{1})\cdots\mathcal{A}(t_{n})+(\delta\mathcal{A})(t_{1})\mathcal{A}(t_{2})\cdots\mathcal{A}(t_{n})+\cdots\right)dt_{1}\cdots dt_{n} \\ &= U(t_{f},t_{i}) + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^{n}}{n!}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\cdots \int_{t_{i}}^{t_{f}}\mathcal{T}\left((\delta\mathcal{A})(t_{1})\mathcal{A}(t_{2})\cdots\mathcal{A}(t_{n})+\cdots+\mathcal{A}(t_{1})\mathcal{A}(t_{2})\cdots\mathcal{A}(t_{n-1})(\delta\mathcal{A})(t_{n})\right)dt_{1}\cdots dt_{n} \\ \end{align*}\tag{3}$$ Donde hemos descartado términos más que lineales en las variaciones, y donde cada término tiene la forma de un producto de$\mathcal{A}(t_{i})$'s con un solo término que ha sido reemplazado por una variación$(\delta\mathcal{A})(t_{i})$.

El resultado deseado es:

$$\delta U(t_{f},t_{i}) = -i\int_{t_{i}}^{t_{f}}U(t_{f},t)(\delta\mathcal{A})(t)U(t,t_{i})dt.\tag{4}$$

He podido demostrar que las dos partes están de acuerdo con el segundo orden, y puedo entender cómo mover el$(\delta\mathcal{A})(t_{j})$'s a través del tiempo pedido producto conducirá a$U(t_{f},t)$que aparece a la izquierda y$U(t,t_{i})$a la derecha, pero después de unas horas de perder el tiempo tengo problemas con los detalles. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

EDITAR:

Usando la respuesta de Qmechanic, he podido utilizar la propiedad de grupo de los exponenciales ordenados por tiempo y una discretización del tiempo para encontrar:

$$\delta U(t_{n},t_{1})=\sum_{i=1}^{n}U(t_n,t_{i+1})\delta U(t_{i+1},t_{i})U(t_{i},t_{1})$$ Tomando el intervalo$|t_{i+1}-t_{i}|<<1$entonces ignoremos el ordenamiento temporal en este intervalo, de modo que:

$$U(t_{i+1},t_{i}) \mapsto \text{exp}\left(-i\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}\mathcal{A}(t)+\delta\mathcal{A}(t)dt\right) \approx e^{(t_{i+1}-t_{i})(\mathcal{A}(t_{i})+\delta\mathcal{A}(t_{i}))}$$

Si ahora suponemos que$\delta\mathcal{A}(t_{i})$y$\mathcal{A}(t_{i})$viaje, es fácil ver que:

$$\delta U(t_{i+1},t_{i}) = -i(t_{i+1}-t_{i})U(t_{i+1},t_{i})\delta\mathcal{A}(t_{i})$$

Lo cual, junto con la propiedad del grupo, convierte mi suma en una suma de Riemann y en el límite continuo da la integral deseada. Sin embargo, no veo por qué debería mantenerse esta conmutatividad. Probablemente haya una razón general bastante obvia, pero parece que no puedo verla y realmente agradecería alguna aclaración.