Problema al derivar el teorema de Ehrenfest

Trabajando en la imagen de Schrödinger, mientras derivamos el teorema de Ehrenfest, vamos:

d d t ⟨ A ⟩ = d d t ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩
A es un operador. Expansión RHS-
d d t ⟨ A ⟩ = ⟨ d d t ψ | A ^ | ψ ⟩ + ⟨ ψ | ∂ ∂ t A ^ | ψ ⟩ + ⟨ ψ | A ^ | d d t ψ ⟩
Mi duda es con respecto al segundo término. porque escribimos ∂ ∂ t A ^ y no d d t A ? Por supuesto, esta notación no importaría en caso de que solo haya una dependencia explícita de t , si hay alguno t dependencia en absoluto.

Y si A estaban compuestos por otro operador dependiente del tiempo O ^ ( t ) , es decir A ^ ( t ) = A ( O ^ ( t ) , t ) . ¿Podemos tener tales operadores? En ese caso ∂ ∂ t A ^ ≠ d d t A .

Respuestas (2)

Cuando el teorema de Ehrenfest se deriva en la imagen de Heisenberg, el operador A puede tener dos tipos diferentes de dependencia del tiempo. Una dependencia del tiempo "inherente" (o explícita) (en rojo) y la debida a la evolución del tiempo (desplazamiento de la imagen de Schrödinger):

A H ( t ) = mi + i H t / ℏ A ( t ) mi − i H t / ℏ .
En ese caso, se debe enfatizar que la derivada en el teorema de Ehrenfest es con respecto a la dependencia del tiempo inherente. Para evitar cualquier confusión, se escribiría/debería escribir:
d d t ⟨ A H ( t ) ⟩ = i ℏ [ H H , A H ] + ( ∂ ∂ t A ( t ) ) H .
Pero siendo un poco descuidado, también podrías escribir ∂ ∂ t A H ( t ) y media ( ∂ ∂ t A ( t ) ) H . Esta notación se adopta en su caso, aunque no es estrictamente necesaria en la imagen de Schrödinger.

¿Qué pasaría si A estuviera compuesto por otro operador dependiente del tiempo? O ^ ( t ) , es decir A ^ ( t ) = A ( O ^ ( t ) , t ) . ¿Podemos tener tales operadores?

En QM, generalmente trabaja con un número limitado de operadores diferentes, que son todos independientes del tiempo en la imagen de Schrödinger. Para obtener una dependencia temporal explícita, realmente debe agregar un t allí _
El ∂ está destinado estrictamente para este caso, y no (como en un contexto diferente) para funciones como F ( gramo ( t ) , t ) .

Un ejemplo común es el hamiltoniano de una partícula de espín en un campo magnético. Si el campo es oscilante (es decir, B ( t ) = B 0 pecado ⁡ t ), entonces el hamiltoniano es explícitamente dependiente del tiempo: H ^ ∝ B ( t ) S ^ z = B 0 pecado ⁡ t   S ^ z , dónde S ^ z es el operador de espín.

gracias por tu respuesta. ¿Conoces un ejemplo de un operador que tiene una dependencia temporal 'implícita'?
No que yo sepa. Edité la respuesta para aclarar un poco el ejemplo. La dependencia temporal explícita generalmente significa que el sistema no está cerrado, sino que hay una causa externa para el cambio (como que alguien encienda un campo magnético). Una dependencia del tiempo "implícita" de un operador de Schrödinger implicaría que incluso en un sistema cerrado la medición depende del tiempo. O dicho de otro modo, que la física de mañana es diferente de la física de hoy.

Usamos la derivada parcial porque hay otras variables en juego --- como X y pag , los cuales pueden depender del tiempo. El símbolo de derivada parcial se usa porque implica que mantenemos fijas todas las demás variables cuando variamos t .

Utilizando el " d "derivada implicaría que

d d t F ( X ( t ) , pag ( t ) , t ) = ∂ F ∂ t + X ˙ ∂ F ∂ X + pag ˙ ∂ F ∂ pag .

Esta es la definición habitual en la mecánica clásica, pero creo que no tiene sentido aquí. En el cuadro de Schrödinger, X ^ y pag ^ ambos son independientes del tiempo. Por otro lado, cualquier observable A podría depender de operadores distintos de X ^ y pag ^ (por ejemplo, las matrices de Pauli). Rara vez ves una ecuación como la escribiste en mecánica cuántica. En cambio, verías las ecuaciones de Heisenberg.
@Crema. Estoy de acuerdo en principio, pero sigo pensando que lo parcial es una mejor práctica.
Estoy de acuerdo en que usar el parcial aquí (en esta pregunta) es una "buena práctica". Pero creo que uno debería usarlo por una razón diferente a la tuya.
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