Integrando ecuaciones con unidades

Question

Integrando ecuaciones con unidades

unidades
Física
integración
análisis dimensional

usuario2813684

Estaba mirando una copia antigua de AP Physics de Barron y encontré este problema relacionado con el impulso que inicialmente estaba confundido acerca de cómo integrar.

Ejemplo 6.1 Durante una colisión con una pared que dura desde $t=0$ a $t=2\text{ s}$ , la fuerza que actúa sobre un $2\text{-kg}$ objeto está dado por la ecuación $\mathbf{F} = (4\mathrm{\ kg\ m/s^4})t(2s-t)\hat{i}$

Calculan que la integral es igual a:

\frac{dieciséis}{3} \hat{i} \frac{kg m}{s}

$\frac{16}{3}\hat{i}\frac{\text{kg m}}{\text{s}}$

Estoy confundido acerca del papel de las unidades en el problema.

Mirando la respuesta, parece que si tuviera que ignorar todas las unidades y simplemente integrar $4t\cdot(2-t)$ eso me daria $16/3$ , y porque esa es una fuerza que sé que es $\mathrm{kg\,m/s}$ o $\mathrm{N}$ .

Sin embargo, por qué estaría bien ignorar las unidades en la integral, es algo poco intuitivo para mí (aparte de eso, sé que el resultado final debe ser una fuerza) y siento que puede meterme en problemas con otros problemas.

¿Alguien puede explicar cómo es que los valores escalares de las cantidades unitarias originales aún le dan la respuesta correcta?

Respuestas (2)

Integrando ecuaciones con unidades

david z · Answer 1

Sabes que puedes sacar una constante multiplicativa delante de una integral, ¿verdad?

\int C F (t) d t = C \int F (t) d t

$\int cf(t)\mathrm{d}t = c\int f(t)\mathrm{d}t$

dónde $f(t)$ es cualquier función de $t$ , como $t^2$ o $t(2\text{ s} - t)$ (y $c$ no depende de $t$ ).

Las unidades también pueden ser parte de ese factor constante. En este caso, el factor constante es $4\mathrm{\ kg\ m/s^4}$ .

La razón por la que todo esto funciona es que una integral es básicamente una suma. Estás calculando el valor de una función, en tu caso $4\mathrm{\ kg\ m/s^4}t(2\text{ s} - t)\hat{i}$ en algún momento $t$ , multiplicándolo por un pequeño incremento en el tiempo $\mathrm{d}t$ , y sumando el resultado para todos los tiempos posibles. Fíjate en las unidades de las diferentes piezas que sumas:

\begin{aligned} 4 k gramo metro / s^{4} t (2 s - t) \hat{i} d t \\ unidades: & (1) (k gramo metro / s^{4}) (s) (s) (1) (s) = \frac{kg m}{s^{4}} s^{3} = \frac{kg m}{s} \end{aligned}

$\begin{align} &4\color{blue}{\mathrm{\ kg\ m/s^4}}\color{red}{t}\color{green}{(2\text{ s} - t)}\hat{i}\color{purple}{\mathrm{d}t} \\ \text{units: }&(1)\color{blue}{(\mathrm{kg\ m/s^4})}\color{red}{(\text{s})}\color{green}{(\text{s})}(1)\color{purple}{(\text{s})} = \frac{\text{kg m}}{\text{s}^4}\text{s}^3 = \frac{\text{kg m}}{\text{s}} \end{align}$

Así que estás sumando cosas que tienen unidades de $\text{kg m/s}$ . Por lo tanto, su resultado tendrá las mismas unidades. Como las unidades son un factor constante, no importa si las extraes por adelantado o las dejas para la integración.

kyle kanos · Answer 2

Esta es probablemente la razón por la cual es útil usar variables. Si solo dejamos $q=4\,{\rm kg\,m/s^4}$ y $h=2\,{\rm s}$ , entonces tu fuerza es

F = q t (h - t) \hat{i}

$\mathbf{F}=qt\left(h-t\right)\hat{\mathbf{i}}$ Luego integramos esto con el tiempo.

t

$t$ ,

\int_{0}^{t} F d t^{'} = q \int_{0}^{t} t^{'} (h - t^{'}) d t^{'} \hat{i}

$\int_0^t\mathbf{F}\,dt'=q\int_0^tt'\left(h-t'\right)dt'\,\hat{\mathbf{i}}$ obtenemos,

\int_{0}^{t} F d t^{'} = q \frac{- 2 t^{3} - 6 h t^{2}}{6} \hat{i} \Rightarrow \frac{dieciséis}{3} [q] [t] [h] \hat{i}

$\int_0^t\mathbf{F}\,dt'=q\frac{-2t^3-6ht^2}{6}\,\hat{\mathbf{i}}\Rightarrow\frac{16}{3}[q][t][h]\hat{\mathbf{i}}$ dónde

[q]

$[q]$ representa las unidades de

q

$q$ y lo mismo para las demás variables. Mirando estos, obtenemos

\frac{k gramo metro}{s^{4}} \cdot s^{3} = \frac{k gramo metro}{s}

$\rm{\frac{kg\,m}{s^4}\cdot s^3=\frac{kg\,m}{s}}$ que es la unidad de impulso , no de fuerza.

Es mi opinión, entonces, que la forma apropiada es envolver las unidades en una variable, integrar y luego aplicar las unidades.

Integrando ecuaciones con unidades

usuario2813684

Respuestas (2)

david z

kyle kanos

Comprueba las dimensiones de la integral de una función.

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