Integral de QFT de Lancaster

Question

Integral de QFT de Lancaster

klein cuatro

En el Capítulo 32 de la Teoría cuántica de campos de Lancaster para aficionados superdotados, se analiza la renormalización. Las amplitudes de varios diagramas de Feynman de un bucle que son correcciones al vértice en un $\phi^4$ la teoría del campo escalar se hacen finitos al imponer un límite de momento. Lancaster escribe

\int_{0}^{Λ} \frac{d^{4} q}{(2 π)^{4})} \frac{i}{q^{2} - {metro}^{2} + i ϵ} \frac{i}{(pag - q)^{2} - {metro}^{2} + i ϵ} = - 4 i a en (\frac{Λ}{pag}),

$\int_0^{\Lambda} \frac{d^4q}{(2\pi)^4)} \frac{i}{q^2 - m^2 + i \epsilon} \frac{i}{(p-q)^2 - m^2 + i \epsilon} = - 4i a \ln\left(\frac{\Lambda}{p}\right),$

dónde $a$ es "una constante numérica cuyo valor exacto no es importante para nosotros". En primer lugar, me gustaría saber el valor exacto de todos modos. En segundo lugar, ¿qué significan exactamente los límites de la integral aquí? ¿Se corta cada componente de la cuatro cantidad de movimiento en $\Lambda$ , o es solo la magnitud? Me gustaría saber cómo obtener realmente el resultado que da Lancaster.

qmecanico

Hola Klein Cuatro. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y ejercicios y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.

klein cuatro

Gracias por hacérmelo saber. Esta pregunta no es de ninguna manera un problema de tarea. El libro de texto simplemente cita este resultado y luego lo usa para el resto del capítulo. Me gustaría ver cómo se encuentra este resultado. Esto es puramente para mi propia edificación. Soy un estudiante, pero ni siquiera estoy en una clase que cubra este material.

Respuestas (1)

Integral de QFT de Lancaster

Hola Klein Cuatro. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y ejercicios y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.
Gracias por hacérmelo saber. Esta pregunta no es de ninguna manera un problema de tarea. El libro de texto simplemente cita este resultado y luego lo usa para el resto del capítulo. Me gustaría ver cómo se encuentra este resultado. Esto es puramente para mi propia edificación. Soy un estudiante, pero ni siquiera estoy en una clase que cubra este material.

Profesor Legolasov · Answer 1

Para responder a tu segunda pregunta, $\Lambda$ es el corte euclidiano. Es decir, el cuadrado de la cantidad de movimiento euclidiana está restringido por

q_{0}^{2} + {\vec{q}}^{2} \leq Λ^{2} .

$q_0^2 + \vec{q}^2 \le \Lambda^2.$

En los cálculos reales, probablemente desee girar Wick-rotation primero en la integral divergente formal y luego imponer la restricción en el momento euclidiano.

Antes de preguntar: esta expresión no es invariante de Lorentz. El límite de impulso rompe la invariancia de Lorentz, y tendremos que verificar explícitamente los resultados de la teoría para la invariancia de Lorentz después de la renormalización (alerta de spoiler: la invariancia de Lorentz resulta ser ininterrumpida en $\phi^4$ teoría a un nivel arbitrario de bucles).

Para responder parcialmente a su primera pregunta. no se el valor exacto $a$ . Se puede calcular explícitamente:

Usted Wick-rotar el $dq_0$ integral (deforma el contorno de integración en el plano complejo pasando al momento euclidiano).
Utiliza la parametrización de Feynman para tener en cuenta $p$ . Idealmente, desea pasar a otra variable de integración. $k_{\mu}$ tal que $p$ ya no aparece en la integral. Por supuesto, todavía aparece en el resultado porque el cambio de variables en sí depende de $p$ .
Tenga en cuenta que el segundo paso no es sencillo, porque el cambio de variables introduce cambios no triviales. $p$ restricciones de regularización dependientes de $k$ (a diferencia de la restricción de $q$ ). Pero como solo quieres calcular esto en $\Lambda \gg p$ límite, puede simplemente ignorar estos problemas y usar la misma restricción que usaría para $q$ : $k_{0}^{2} + {\vec{k}}^{2} \leq Λ^{2} .$ $k_0^2 + \vec{k}^2 \le \Lambda^2.$
Pasas a coordenadas esféricas en $\mathbb{R}^4$ y saca la integral, que te daría el valor de $a$ .

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Profesor Legolasov

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