Integrales de trayectoria de Srednicki: Amplitud de transición de estado fundamental a estado fundamental en presencia de una perturbación

Question

Integrales de trayectoria de Srednicki: Amplitud de transición de estado fundamental a estado fundamental en presencia de una perturbación

Física
integral de trayectoria
función de partición
teoría de la perturbación
teoría cuántica de campos
derivados funcionales

Junaid Aftab

La teoría cuántica de campos de Srednicki menciona lo siguiente al final de la unidad sobre integrales de trayectoria en mecánica cuántica no relativista:

Suponga que el hamiltoniano total es de la forma,

$H = H_{0} + H_{1},$ $H = H_0 + H_1,$

dónde $H_0$ es la parte exactamente solucionable y $H_1$ se trata como una perturbación.

Sin la presencia de la perturbación, la amplitud de transición de estado fundamental a estado fundamental en presencia de fuerzas externas/fuentes clásicas es:

$\begin{matrix} (6.21) & ⟨ 0 | 0 ⟩_{F, h} = \int D pag D q Exp [i \int_{- \infty}^{\infty} d t (pag \dot{q} - (1 - i ϵ) H_{0} + F q + h pag] . \end{matrix}$ $\langle 0 | 0 \rangle_{f,h} = \int \mathcal{D}p \; \mathcal{D}q \; \exp \Bigg [i \int_{-\infty}^{\infty} dt \; (p\dot{q} - (1- i\epsilon)H_{0} + fq + h p \Bigg ]. \tag{6.21}$

En presencia de la perurbación, la amplitud ahora viene dada por:

Preguntas:

1) Para obtener la ecuación $(6.22)$ , ¿cómo podemos sacar la exponencial dentro de la integral, hacer las manipulaciones necesarias y luego sacar la exponencial fuera de la integral? Esto me parece muy ad-hoc. ¿Cómo y cuándo sabemos que estos pasos son válidos? ¿No requiere esto una justificación del análisis matemático?

2) Más importante aún, no obtengo el primer término que involucra al hamiltoniano perturbador. ¿Por qué tenemos derivadas funcionales en su argumento? ¿Cómo resultó ser? ¿Por qué no tenemos derivadas funcionales similares en el argumento de $H_0$ ¿también? ¿Cuál es la distinción?

Nota: El factor de $(1 - i \epsilon)$ ha sido reprimido en $(6.22)$ .

Respuestas (1)

Integrales de trayectoria de Srednicki: Amplitud de transición de estado fundamental a estado fundamental en presencia de una perturbación

qmecanico · Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que una definición general matemáticamente rigurosa de integrales funcionales es un problema abierto bien conocido en matemáticas. Una ruta es tratar de construir la integral funcional como un límite continuo apropiado de un modelo de celosía sobre un espacio-tiempo discretizado. $M$ .
Si por simplicidad escribimos las coordenadas del espacio de fase colectivamente como $z^I:=\{q^i; p_i\}$ ; las fuentes como $j_I:=\{f_i; h^i\}$ ; y la acción
$\begin{matrix} (A) & \begin{aligned} S [z] = & S_{0} [z] + S_{1} [z], \\ S_{0} [z] = & \int_{R} d t ({pag}_{i} {\dot{q}}^{i} - H_{0}), \\ S_{1} [z] = & - \int_{R} d t H_{1}; \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}S[z]~=~&S_0[z]+S_1[z], \cr S_0[z]~=~& \int_{\mathbb{R}} \! dt \left(p_i\dot{q}^i - H_0\right), \cr S_1[z]~=~& -\int_{\mathbb{R}} \! dt~H_1; \end{align}\tag{A}$ entonces podemos escribir formalmente las ecs. (6.21) y (6.22) como $\begin{aligned} (6.21) & Z [j] = & \int D z {mi}^{\frac{i}{ℏ} S_{0} [z]} Exp {\frac{i}{ℏ} S_{1} [z]} Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{R} d t j_{I} z^{I}} \\ = & \int D z {mi}^{\frac{i}{ℏ} S_{0} [z]} Exp {\frac{i}{ℏ} S_{1} [\frac{ℏ}{i} \frac{d}{d j}]} Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{R} d t j_{I} z^{I}} \\ (6.22) & = & Exp {\frac{i}{ℏ} S_{1} [\frac{ℏ}{i} \frac{d}{d j}]} \int D z {mi}^{\frac{i}{ℏ} S_{0} [z]} Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{R} d t j_{I} z^{I}} . \end{aligned}$ $\begin{align} Z[j]~=~&\int \!{\cal D}z~e^{\frac{i}{\hbar}S_0[z]} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_1[z]\right\} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt ~j_I z^I \right\} \tag {6.21} \cr ~=~& \int \!{\cal D}z~e^{\frac{i}{\hbar}S_0[z]} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_1\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta j}\right]\right\} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt ~j_I z^I \right\} \cr ~=~&\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_1\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta j}\right]\right\} \int \!{\cal D}z~e^{\frac{i}{\hbar}S_0[z]} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt ~j_I z^I \right\}.\tag {6.22}\end{align}$ En el último paso sacamos un factor (que no depende de la variable integral funcional $z^I$ ) fuera de la integral funcional.
La razón de la aparición de las derivadas funcionales tiene que ver con infinitos grados de libertad en la teoría de campos. Los derivados funcionales son un gran tema en sí mismos. Aquí solo mencionaremos que las derivadas funcionales se convierten en derivadas parciales si vamos a un modelo discretizado/lattice. Por ejemplo, en el paso de la ec. (6.21) a la ecuación. (6.22) se utiliza una generalización funcional de la fórmula elemental
$\begin{matrix} (B) & F (\frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial j}) {mi}^{\frac{i}{ℏ} j_{I} z^{I}} = F (z) {mi}^{\frac{i}{ℏ} j_{I} z^{I}}, \end{matrix}$ $f\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial j} \right)e^{\frac{i}{\hbar} j_Iz^I} ~=~ f(z)e^{\frac{i}{\hbar} j_Iz^I} ,\tag{B}$ que es válido para funciones agradables adecuadas $f$ . Alternativamente, el paso puede ser visto como una generalización de $\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} \frac{ℏ}{i} \frac{d}{d j_{I} (t)} Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{R} d t^{'} j_{j} (t^{'}) z^{j} (t^{'})} \\ = & z^{I} (t) Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{R} d t^{'} j_{j} (t^{'}) z^{j} (t^{'})} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}& \frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta j_I(t)} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt^{\prime} ~j_J(t^{\prime}) z^J(t^{\prime}) \right\}\cr ~=~&z^I(t)\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{\mathbb{R}} \! dt^{\prime} ~j_J(t^{\prime}) z^J(t^{\prime}) \right\} .\end{align}\tag{C}$ Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

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Junaid Aftab

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qmecanico

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