¿Cómo calcular una integral de trayectoria gaussiana TQFT a partir de la "diversión con la teoría de campo libre" de Seiberg?

Question

¿Cómo calcular una integral de trayectoria gaussiana TQFT a partir de la "diversión con la teoría de campo libre" de Seiberg?

Física
integral de trayectoria
función de partición
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
teoría topológica del campo

Elias Riedel Gårding

En su charla "Fun with Free Field Theory" , Seiberg analiza una teoría topológica cuántica de campos en $d+1$ dimensiones con la acción

\begin{matrix} (1) & S = \frac{norte}{2 π} \int ϕ d a \end{matrix}

$S = \frac{n}{2\pi} \int \phi\, \mathrm{d} a \tag{1}$ dónde

ϕ

$\phi$ es un escalar periódico (

ϕ \sim ϕ + 2 π

$\phi \sim \phi + 2\pi$ ),

a

$a$ es un

d

$d$ -forma el campo de calibre cuantizado de tal manera que

\int_{M} a \in 2 π Z

$\int_M a \in 2\pi\mathbb{Z}$ para cualquier

d

$d$ -ciclo

M

$M$ , y

n

$n$ es un número entero. Escribe la función de correlación.

\begin{matrix} (2) & ⟨ {mi}^{i ϕ (pag)} {mi}^{i \oint_{METRO} a} ⟩ = {mi}^{\frac{2 π i}{norte} ℓ} \end{matrix}

$\left\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(p)} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\oint_M a}\right\rangle = \mathrm{e}^{\frac{2\pi\mathrm{i}}{n} \ell}\tag{2}$ dónde

p

$p$ es un punto,

M

$M$ es un cerrado

d

$d$ hipersuperficie -dimensional, y

ℓ

$\ell$ es el número de enlace de

p

$p$ y

M

$M$ . Dice que dado que la teoría es gaussiana (es decir, libre), es sencillo calcular la función de partición y obtener el resultado anterior realizando una integral gaussiana.

No entiendo cómo hacer esto. Mi principal preocupación es que la integral de trayectoria

\begin{matrix} (3) & Z = \int D ϕ D a {mi}^{- S} \end{matrix}

$Z = \int \mathscr{D}\phi \mathscr{D}a\, \mathrm{e}^{-S}\tag{3}$ no me parece gaussiano. Para mí, la integral de Gauss es

\begin{matrix} (4) & \int d^{norte} Φ {mi}^{- \frac{1}{2} Φ^{T} METRO Φ} = \frac{1}{\sqrt{det (METRO / 2 π)}} \end{matrix}

$\int\mathrm{d}^n\Phi\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \Phi^T M \Phi} = \frac{1}{\sqrt{\det(M/2\pi)}} \tag{4}$ dónde

M

$M$ es simétrico y positivo definido, pero si trato de definir (en 1+1 dimensiones para la concreción)

Φ = (ϕ, a_{0}, a_{1})

$\Phi = (\phi, a_0, a_1)$ , Yo obtengo

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} S & = \frac{norte}{2 π} \int d^{2} X d^{2} y \frac{1}{2} ϕ (\partial_{0} a_{1} - \partial_{1} a_{0}) \\ = \int d^{2} X d^{2} y \frac{1}{2} Φ^{T} \underset{METRO (X, y)}{\underset{⏟}{\frac{norte}{4 π} d^{(2)} (X - y) (\begin{matrix} 0 & - \partial_{1} & \partial_{0} \\ \partial_{1} & 0 & 0 \\ - \partial_{0} & 0 & 0 \end{matrix})}} Φ \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S &= \frac{n}{2\pi} \int \mathrm{d}^2 x\, \mathrm{d}^2 y\, \frac{1}{2} \phi(\partial_0 a_1 - \partial_1 a_0) \\ &= \int \mathrm{d}^2 x\, \mathrm{d}^2 y\, \frac{1}{2} \Phi^T \underbrace{\frac{n}{4\pi} \delta^{(2)}(x - y) \begin{pmatrix} 0 & -\partial_1 & \partial_0 \\ \partial_1 & 0 & 0 \\ -\partial_0 & 0 & 0\end{pmatrix}}_{M(x,y)} \Phi \end{align}\tag{5}$ y parece que este operador

M

$M$ seguramente tiene determinante

0

$0$ . Por lo tanto, la integral de trayectoria no tiene sentido y, en particular, no puedo calcular los correladores mediante el método estándar de introducir términos fuente y completar el cuadrado, porque esto requeriría invertir

M

$M$ .

Puedo pensar en tres problemas con lo que he dicho:

Mi $M$ no parece simétrico porque realicé integraciones parciales $\phi \partial_\mu a_1 \to -a_1 \partial_\mu \phi$ (¿pero es hermitiano?)
No he realizado ningún arreglo de gálibo ni regularización de la integral de trayectoria, y
desde $\phi$ es periódico y $a$ está cuantizado, la forma ordinaria de hacer integrales gaussianas puede no funcionar.

¿La integral de trayectoria es realmente gaussiana? ¿Cómo harías para calcularlo? ¿Tener en cuenta los "problemas" anteriores resolvería el problema?

¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Relacionado: ¿Cómo funciona esta integral gaussiana sobre el campo auxiliar en la teoría de calibre topológica 2D?

Respuestas (2)

¿Cómo calcular una integral de trayectoria gaussiana TQFT a partir de la "diversión con la teoría de campo libre" de Seiberg?

qmecanico · Answer 1

Aquí hay una forma de derivar el correlador de OP (2):

Uno puede pensar en los operadores de líneas/vértices de Wilson en la ecuación. (2) como parte de una acción extendida
$\begin{matrix} (A) & \begin{aligned} \tilde{S} = & S + ϕ (pag) + \int_{METRO} a \\ = & \frac{norte}{2 π} \int ϕ d a + \int ϕ (X) d^{d + 1} (X, pag) (⋆ 1) (X) + \int a \land d 1_{norte} (X), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\tilde{S}~=~& S + \phi (p) + \int_M\! a\cr ~=~&\frac{n}{2\pi} \int\! \phi~ \mathrm{d} a+\int \! \phi (x)~\delta^{d+1}(x,p)~(\star 1)(x) + \int a \wedge \mathrm{d}1_N(x) ,\end{align}\tag{A}$ dónde $\star 1$ es la forma de volumen en $\mathbb{R}^{d+1}$ y $1_N$ es la función indicadora/característica . Aquí hemos asumido por simplicidad que el ciclo $M=\partial N$ es un límite y hemos hecho algunas elecciones implícitas de orientación. La acción se llama gaussiana/libre porque cada término solo contiene (hasta) 2 campos.
La MOE para $\phi$ es $^1$
$\begin{matrix} (B) & \frac{norte}{2 π} d a (X) + d^{d + 1} (X, pag) (⋆ 1) (X) \approx 0, \end{matrix}$ $\frac{n}{2\pi} \mathrm{d} a(x)+\delta^{d+1}(x,p)~(\star 1)(x)~\approx~0,\tag{B}$ mientras que la MOE para $a$ es $\begin{matrix} (C) & d (\frac{norte}{2 π} ϕ - 1_{norte}) \approx 0 \Rightarrow \frac{norte}{2 π} ϕ - 1_{norte} \approx C o norte s t . \end{matrix}$ $\mathrm{d}(\frac{n}{2\pi}\phi - 1_N)~\approx~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{n}{2\pi}\phi - 1_N~\approx {\rm const} .\tag{C}$
La acción clásica en el caparazón se convierte (después de despreciar un término límite)
$\begin{matrix} (D) & {\tilde{S}}_{C yo} = \frac{2 π}{norte} \int 1_{norte} (X) d^{d + 1} (X, pag) (⋆ 1) (X) = \frac{2 π}{norte} ℓ . \end{matrix}$ $\tilde{S}_{\rm cl}~=~\frac{2\pi}{n}\int\! 1_N(x) ~\delta^{d+1}(x,p)~(\star 1)(x)~=~\frac{2\pi}{n}\ell.\tag{D}$
Un cálculo similar para la acción original. $S$ rendimientos
$\begin{matrix} (MI) & S_{C yo} = 0. \end{matrix}$ $S_{\rm cl}~=~0.\tag{E}$
El correlador de OP (2) se puede calcular a través de 2 integrales gaussianas $^2$
$\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} ⟨ {mi}^{i ϕ (pag)} {mi}^{i \oint_{METRO} a} ⟩ = \frac{\tilde{Z}}{Z} = \frac{\int D ϕ D a {mi}^{i \tilde{S}}}{\int D ϕ D a {mi}^{i S}} = \frac{{mi}^{i {\tilde{S}}_{C yo}}}{{mi}^{i S_{C yo}}} \overset{(D) + (mi)}{=} {mi}^{\frac{2 π i}{norte} ℓ} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \left\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(p)} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\oint_M a}\right\rangle ~=~\frac{\tilde{Z}}{Z} ~=~\frac{\int\!\mathscr{D}\phi \mathscr{D}a~ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\tilde{S}}}{\int\!\mathscr{D}\phi \mathscr{D}a~ \mathrm{e}^{\mathrm{i}S}} ~=~\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tilde{S}_{\rm cl}}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}S_{\rm cl}}} ~\stackrel{(D)+(E)}{=}~ \mathrm{e}^{\frac{2\pi\mathrm{i}}{n} \ell}.\end{align}\tag{F}$ (Uno debe continuar analíticamente con las integrales gaussianas para hacerlas convergentes). Completar el cuadrado produce las acciones clásicas en el caparazón. Tenga en cuenta que los 2 determinantes gaussianos se cancelan.

--

$^1$ Aquí el $\approx$ signo significa módulo igual a los EOM.

$^2$ Aquí ignoramos por simplicidad la fijación de calibres. La corrección de calibre daría lugar a términos adicionales en las 2 acciones, que se cancelan en el correlacionador (F).

Una forma alternativa (asumiendo la simplificación $M=\partial N$ ), sería simplemente completar el cuadrado y calcular la nueva integral de trayectoria gaussiana. Si $M\neq \partial N$ , sin embargo, ¿qué se debe hacer?

ɪdɪət strəʊlə · Answer 2

Una versión un poco más general de su integral de Gauss es

\int D ϕ Exp (- \frac{1}{2} ⟨ ϕ, Ω ϕ ⟩) = \frac{1}{\sqrt{det Ω}} .

$\int \mathrm{D}\phi \exp\left(-\frac{1}{2}\left<\phi,\Omega \phi\right> \right) = \frac{1}{\sqrt{\det\Omega}}.$ En este caso, su producto interno es

⟨ ∙, \circ ⟩ := \int ∙ \land ⋆ \circ,

$\left<\bullet,\circ\right>:= \int \bullet\wedge\star\circ,$ dónde

⋆

$\star$ es la estrella de Hodge . Otra fórmula que suele asociarse a las integrales gaussianas es

\int D ϕ D ψ Exp (- ⟨ ϕ, Ω ψ ⟩) = \frac{1}{det Ω},

$\int \mathrm{D}\phi\;\mathrm{D}\psi \exp\!\big(-\left<\phi,\Omega \psi\right>\big) = \frac{1}{\det\Omega},$ que puedes probar ya sea haciendo

(ϕ, ψ)

$(\phi,\psi)$ en un vector y obtener una integral gaussiana ordinaria para el operador diferencial

\frac{1}{2} (\begin{array}{cc} Ω \\ Ω \end{array}),

$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} & \Omega \\ \Omega & \end{array}\right),$ o por ser un poco descuidado con los factores de

i

$i$ y pensar en una de las dos integrales como si hiciera una función delta (funcional) para el otro campo y luego usar las propiedades de las funciones delta (funcionales).

En cualquier caso, aquí tienes

\int D ϕ D a Exp (- \frac{norte}{2 π} \int ϕ \land d a) = \int D ϕ D a Exp (- \frac{norte}{2 π} \int ϕ \land ⋆ ⋆ d a) = {[det (\frac{norte}{2 π} ⋆ d)]}^{- 1} = {[det (\frac{norte}{2 π} \partial)]}^{- 1},

$\int\mathrm{D}\phi\mathrm{D}a \exp\left(-\frac{n}{2\pi}\int\phi\wedge \mathrm{d}a\right)= \int\mathrm{D}\phi\mathrm{D}a \exp\left(-\frac{n}{2\pi}\int\phi\wedge \star\star\mathrm{d}a\right) =\left[\det\left(\frac{n}{2\pi}\star\mathrm{d}\right)\right]^{-1}=\left[\det\left(\frac{n}{2\pi}\partial\right)\right]^{-1},$ dónde

⋆ ⋆ = 1

$\star\star=1$ porque está actuando sobre un

(d + 1)

$(d+1)$ -formulario en

d + 1

$d+1$ dimensiones y escribí

⋆ d

$\star\mathrm{d}$ como

\partial

$\partial$ porque está actuando

d

$d$ -formas.

Con un poco más de trabajo, debería poder obtener el número de enlace de esa función de dos puntos.

Acerca de los comentarios al final de su pregunta:

Que no sea simétrico no es un problema.
Ese es un buen punto. En mi respuesta, ignoré por completo la invariancia de calibre, solo para mostrar cómo la integral deseada es de hecho una integral gaussiana. Sin embargo, teniendo en cuenta la invariancia de calibre, moralmente daría un factor (n infinito) de $\mathrm{vol}(\mathcal{G})^{-1}$ , dónde $\mathcal{G}$ es el grupo de indicadores (Aquí sería $\mathcal{G}=\mathrm{Maps}(X,\mathrm{B}^d\mathrm{U}(1))$ , dónde $X$ es la variedad de su teoría y $\mathrm{B}^d$ denota que tiene una simetría de calibre de forma superior). Sin embargo, al observar las funciones de correlación, este factor debería cancelarse si incluye una división por la función de partición en su definición de funciones de correlación. La regularización afectaría el valor preciso del determinante, que de todos modos se cancelaría nuevamente una vez que calcule las funciones de correlación.
Este también es un buen punto. Genéricamente, nuevamente afecta el valor del determinante y posiblemente cosas adicionales provenientes de los modos cero. Entonces, si estuviera interesado en la función de partición, debería tener más cuidado. Pero nuevamente estos se cancelan en la función de correlación.

¡Gracias, esto ayuda mucho! Todavía estoy un poco incómodo con el concepto de un determinante de un operador como $\star\mathrm{d}$ que mapas $d$ -formas en $0$ -formas. En álgebra lineal, definiríamos el determinante solo para endomorfismos de un espacio vectorial, no para mapas entre dos espacios vectoriales de diferente dimensión. Me imagino que el espacio de $d$ -forms es "más grande" que el espacio de $0$ -formas, por lo que el determinante debería ser automáticamente 0. ¿Cómo entender esto? (¿Es aquí quizás donde la fijación de indicadores puede eliminar algunos grados de libertad? Pero, ¿podría eliminar todos los grados de libertad menos uno? $a$ ?)
Puedes pensar en (o incluso definir) el determinante de $\star\mathrm{d}$ como la raíz cuadrada del determinante de $(\star\mathrm{d})^\dagger \star\mathrm{d}$ , hasta temas de regularización.

¿Cómo calcular una integral de trayectoria gaussiana TQFT a partir de la "diversión con la teoría de campo libre" de Seiberg?

Elias Riedel Gårding

Respuestas (2)

qmecanico

ɪdɪət strəʊlə

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