Integral de trayectoria en un círculo (cálculo de la independencia lineal y de fase)

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Integral de trayectoria en un círculo (cálculo de la independencia lineal y de fase)

Anónimo

Estoy leyendo el capítulo "Técnicas y aplicaciones de la integración de caminos" de Schulman sobre Integrales de caminos en espacios con conexiones múltiples. En la primera sección calcula la integral de trayectoria de una partícula libre en un anillo. La integral de trayectoria total se puede dividir en clases de equivalencia, cada una de las cuales contiene trayectorias con el mismo número de devanado n, es decir, no. de veces cruzamos un punto fijo de la circunferencia.

k (ϕ^{''}, t^{''}; ϕ^{'}, t^{'}) = \sum_{norte} A_{norte} \sum_{ϕ \in {gramo}_{norte}} {mi}^{i S (ϕ)} = \sum_{norte = - \infty}^{norte = \infty} A_{norte} k_{norte}

$K(\phi^{\prime \prime}, t^{\prime \prime};\phi^{\prime}, t^{\prime})=\sum_n A_n \sum_{\phi \in g_n} e^{iS(\phi)}=\sum_{n={-\infty}}^{n=\infty} A_n K_n$

Aquí $g_n$ es el conjunto (clase de equivalencia) de todos los caminos con número de vuelta n. hay un factor $A_n$ en general, que se obtiene si hacemos la suposición de que cada término en la suma de los números de devanado satisface localmente la ecuación de onda de Schrödinger. Posteriormente, se puede probar que $A_{n+1}=e^{i\delta}A_n$

Mis preguntas son:

¿Cómo demuestro intuitiva o rigurosamente que $K_n's$ son linealmente independientes? ¿También son ortogonales?
Schulman dice 'magnitud de $A_0$ se fija por unitaridad a 1'. No puedo ver esto. Supongo que unitaridad significa $\int |K(\phi^{\prime \prime}, t^{\prime \prime};\phi^{\prime}, t^{\prime})|^2 d\phi^{\prime \prime}d\phi^{\prime}=1$ , pero luego hay muchos términos cruzados y cada una de las integrales $\int|K_n|^2$ debe ser uno, por lo que obtengo que la integral diverge.

como muestro $A_0=1$ ?

Trimok

Tal vez se me escape algún punto, pero el propagador en un círculo (de radio

1

$1$ ) es solo una suma de todos los números de bobinado:

K_{c i r c l e} (ϕ^{″}, t^{″}; ϕ^{'}, t^{'}) = \sum_{l = - \infty}^{l = + \infty} K (ϕ^{″} + 2 π l, t^{″}; ϕ^{'}, t^{'})

$K_{circle}(\phi'', t'';\phi', t') = \sum_{l=-\infty }^{l=+\infty } K(\phi''+2\pi l, t'';\phi', t')$ , dónde

K

$K$ es el propagador unidimensional estándar (Kleinert

6.19

$6.19$ ,

6.20

$6.20$ ).

usuario7757

@Trimok: en general, cada uno de los términos en la suma puede tener un factor de fase

e^{i n δ}

$e^{in\delta}$ según Schulman. Todavía estoy tratando de entender por qué esto es así. Un ejemplo de tal factor de fase que ocurre en espacios conectados de forma múltiple es, por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm. Podría arrojar más luz sobre por qué

K_{n}

$K_n$

n

$n$ siendo el número de bobinado podría tener un factor

A_{n}

$A_n$ multiplicándolo?

Trimok

Tal vez esto no sea útil, pero tenga en cuenta que:

\sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} e^{2 i π n δ} δ (ϕ^{″} + 2 π n - ϕ^{'}) = e^{i δ (ϕ^{'} - ϕ^{″})} \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (ϕ^{″} + 2 π n - ϕ^{'})

$\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} e^{2i \pi n\delta} \delta(\phi''+2\pi n - \phi') = e^{i\delta(\phi'-\phi'')} \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} \delta(\phi''+2\pi n - \phi')$

usuario7757

@Trimok: Las palabras exactas que usa el autor para justificar el reclamo son esas. "Como la prueba de la integral de trayectoria satisface la ecuación de Schrödinger es local, cada término de la suma (sobre el número de devanado) satisface individualmente la ecuación SE. De ello se deduce que

\sum_{n} A_{n} K_{n}

$\sum_n A_n K_n$ es tan buen candidato como

\sum_{n} K_{n}

$\sum_n K_n$ .

A_{n}

$A_n$ resulta ser

e^{i n δ}

$e^{in \delta}$ (Al aumentar

ϕ^{''}

$\phi^{\prime \prime}$ ) por un ciclo completo.

Respuestas (1)

Integral de trayectoria en un círculo (cálculo de la independencia lineal y de fase)

Tal vez se me escape algún punto, pero el propagador en un círculo (de radio $1$ ) es solo una suma de todos los números de bobinado: $K_{circle}(\phi'', t'';\phi', t') = \sum_{l=-\infty }^{l=+\infty } K(\phi''+2\pi l, t'';\phi', t')$ , dónde $K$ es el propagador unidimensional estándar (Kleinert $6.19$ , $6.20$ ).
@Trimok: en general, cada uno de los términos en la suma puede tener un factor de fase $e^{in\delta}$ según Schulman. Todavía estoy tratando de entender por qué esto es así. Un ejemplo de tal factor de fase que ocurre en espacios conectados de forma múltiple es, por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm. Podría arrojar más luz sobre por qué $K_n$ $n$ siendo el número de bobinado podría tener un factor $A_n$ multiplicándolo?
Tal vez esto no sea útil, pero tenga en cuenta que: $\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} e^{2i \pi n\delta} \delta(\phi''+2\pi n - \phi') = e^{i\delta(\phi'-\phi'')} \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} \delta(\phi''+2\pi n - \phi')$
@Trimok: Las palabras exactas que usa el autor para justificar el reclamo son esas. "Como la prueba de la integral de trayectoria satisface la ecuación de Schrödinger es local, cada término de la suma (sobre el número de devanado) satisface individualmente la ecuación SE. De ello se deduce que $\sum_n A_n K_n$ es tan buen candidato como $\sum_n K_n$ . $A_n$ resulta ser $e^{in \delta}$ (Al aumentar $\phi^{\prime \prime}$ ) por un ciclo completo.

qmecanico · Answer 1

Suprimamos el tiempo inicial y final, $t_i$ y $t_f$ , respectivamente, de la notación, ya que no juegan (casi) ningún papel aquí.

El propagador completo de Feynman en un círculo. $S^1\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es una suma sobre los modos de bobinado $^1$ $n\in\mathbb{Z}$

\begin{matrix} (23.5) & k (φ_{F}; φ_{i}) = \sum_{norte \in Z} A_{norte} k_{norte} (φ_{F}; φ_{i}), \end{matrix}

$\tag{23.5}K(\varphi_f;\varphi_i) ~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}}A_n K_n(\varphi_f;\varphi_i),$

dónde $K_n(\varphi_f;\varphi_i)=K_0(\Delta\varphi-2\pi n;0)$ es el propagador de Feynman para un solo sector de devanado/instantónico $n\in\mathbb{Z}$ . Aquí hemos definido $\Delta\varphi~:=~\varphi_f-\varphi_i$ . La idea ahora es que si damos la vuelta al círculo $\varphi_f \to \varphi_f+2\pi$ , entonces el resultado físico debería ser el mismo, es decir, el propagador de Feynman completo no puede cambiar en más de un factor de fase

\begin{matrix} (A) & k (φ_{F} + 2 π; φ_{i}) = {mi}^{i d} k (φ_{F}; φ_{i}), d \in R, \end{matrix}

$\tag{A} K(\varphi_f+2\pi;\varphi_i)~=~e^{i\delta}K(\varphi_f;\varphi_i), \qquad \delta\in \mathbb{R},$

mientras que, por definición, los sectores individuales se desplazan

\begin{matrix} (B) & k_{norte} (φ_{F} + 2 π; φ_{i}) = k_{norte - 1} (φ_{F}; φ_{i}) . \end{matrix}

$\tag{B} K_n(\varphi_f+2\pi;\varphi_i)~=~K_{n-1}(\varphi_f;\varphi_i).$

Así, si el $K_n$ son linealmente independientes, entonces las ecs. (AB) y (23.5) implican que

\begin{matrix} (23.6) & A_{norte + 1} = {mi}^{i d} A_{norte}, \end{matrix}

$\tag{23.6} A_{n+1}~=~e^{i\delta}A_n,$

de modo que

\begin{matrix} (C) & k (φ_{F}; φ_{i}) = A_{0} \sum_{norte \in Z} {mi}^{i norte d} k_{norte} (φ_{F}; φ_{i}) . \end{matrix}

$\tag{C} K(\varphi_f;\varphi_i) ~=~ A_0 \sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{in\delta} K_n(\varphi_f;\varphi_i).$

Queda por demostrar que $A_0$ es solo un factor de fase, $|A_0|=1$ .

OP es correcto que el módulo $|A_0|$ en principio puede determinarse a partir de la condición de normalización

\begin{matrix} (D) & \iint_{[0, 2 π]^{2}} d φ_{F} d φ_{i} | k (φ_{F}; φ_{i}) |^{2} = 1, \end{matrix}

$\tag{D} \iint_{[0,2\pi]^2}\! \mathrm{d} \varphi_f ~\mathrm{d}\varphi_i ~|K(\varphi_f;\varphi_i)|^2~=~1,$

véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Alternativamente, si suponemos que $A_0$ no depende del tiempo, entonces podemos probar $|A_0|=1$ yendo al límite de tiempo corto $|t_f-t_i|\to 0$ . En ese límite estalla la acción clásica, de modo que

\frac{k (φ_{F}; φ_{i})}{A_{0} Exp [\frac{i d}{2 π} Δ φ]} \overset{(C)}{=} \sum_{norte \in Z} Exp [\frac{i d}{2 π} (2 π norte - Δ φ)] k_{0} (Δ φ - 2 π norte; 0)

$\frac{K(\varphi_f;\varphi_i)}{A_0\exp\left[\frac{i\delta}{2\pi}\Delta\varphi\right]} ~\stackrel{(C)}{=}~\sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp\left[\frac{i\delta}{2\pi}(2\pi n-\Delta\varphi)\right] K_0(\Delta\varphi-2\pi n;0)$

⟶ \sum_{norte \in Z} Exp [\frac{i d}{2 π} (2 π norte - Δ φ)] d (Δ φ - 2 π norte) = \sum_{norte \in Z} d (Δ φ - 2 π norte)

$~\quad\longrightarrow\quad~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} \exp\left[\frac{i\delta}{2\pi}(2\pi n-\Delta\varphi)\right] \delta(\Delta\varphi-2\pi n) ~=~\sum_{n\in\mathbb{Z}} \delta(\Delta\varphi-2\pi n)$

\begin{matrix} (MI) & = d (Δ φ - 2 π Z) = \frac{1}{2 π} \sum_{metro \in Z} {mi}^{i metro Δ φ} =: I I I_{2 π} (Δ φ) para | t_{F} - t_{i} | \to 0, \end{matrix}

$\tag{E}~=~ \delta(\Delta\varphi-2\pi \mathbb{Z}) ~=~\frac{1}{2\pi}\sum_{m\in\mathbb{Z}} e^{im\Delta\varphi}~=:~III_{2\pi}(\Delta\varphi) \quad\text{for} \quad |t_f-t_i|~\to ~0,$

donde hemos usado la fórmula de resumen de Poisson que Trimok escribió en un comentario anterior. Véase también la función de peine de Dirac . El rhs. límite de la ec. (E) es la función de peine de Dirac $III_{2\pi}(\Delta\varphi)$ , que es el límite correcto para el propagador completo de Feynman $K$ en una geometría circular (hasta un factor de fase). Entonces $|A_0|=1$ .

En principio, los diversos factores de fase que aparecen entre diferentes sectores de devanados/instantes en la integral de trayectoria pueden explicarse rastreando cuidadosamente (i) los efectos físicos, como, por ejemplo, el efecto Bohm-Aharonov, etc.; y (ii) factores de fase implícitos en la definición de automercados $|\varphi, t\rangle$ localizado en el espacio del ángulo.

Referencias:

LS Schulman, Técnicas y aplicaciones de la integración de caminos, 1981, cap. 23

--

$^1$ Es posible deducir la convención de signos de Schulman para el modo de bobinado $n$ de su ec. (23.8) para $K_n$ . Por cierto, la forma explícita (23.8) es probablemente también la forma más simple y convincente de ver que el $K_n$ son de hecho linealmente independientes.

Muchas gracias. Por favor, ¿podría también comentar por qué exactamente $\sum_n A_n K_n$ en vez de $\sum_n K_n$ ¿se toma? Esto podría explicar fenómenos como el efecto Aharanov-Bohm, pero a priori, ¿cómo puedo cambiar los términos de la suma? Schulman dice que es porque la ecuación de Schrödinger se satisface localmente, pero no puedo ver cómo es relevante. ¿No es la división de la suma, en caminos con el mismo número de vueltas, solo una conveniencia matemática? Realmente no entiendo, cómo puedes multiplicar $K_n$ por factores ¿No contradice esto la contribución de fase de Feynman de $e^{iS}$ ?

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