Diagonalización/valores propios de la matriz de dimensión infinita de N osciladores armónicos en un anillo

Question

Diagonalización/valores propios de la matriz de dimensión infinita de N osciladores armónicos en un anillo

Física
integral de trayectoria
mecánica cuántica
física-matemática
ecuación de klein-gordon

usuario7757

He intentado demostrar que el límite continuo de N osciladores armónicos cuánticos da lugar al campo de klein-gordon. Sin embargo, en lugar de una cadena finita habitual, quiero hacerlo en un anillo. Por lo tanto, mi Lagrangiano es

L = \frac{metro}{2} ({\dot{q_{1}}}^{2} + {\dot{q_{2}}}^{2} + . . . . {\dot{q_{norte}}}^{2}) - \frac{metro ω^{2}}{2} [(q_{1} - q_{2})^{2} + (q_{2}^{2} - q_{3}^{2}) + . . . . (q_{norte} - q_{1})^{2}]

$L=\frac{m}{2}(\dot{q_1}^2+\dot{q_2}^2+.... \dot{q_n}^2)-\frac{m \omega^2}{2}[(q_1-q_2)^2+(q_2^2-q_3^2)+....(q_n-q_1)^2]$

De modo que la matriz para V es

$V=\begin{pmatrix} 2 & -1 &0 &. &. &. &-1\\-1&2&-1\\0 &-1 &2 &-1 \\.\\.\\.\\-1 &&.&.&.&-1 & 2 \end{pmatrix}$

De modo que $L=\frac{m}{2}[\dot{x}^2-\omega^2 x^{T}V{x}]$ . Todas las cantidades aquí son matrices.

¿Cómo encuentro los valores propios de esta matriz?

Traté de encontrar una relación de recursión entre el polinomio característico de $N$ y $N-1$ matriz dimensional, pero fallé. ¿Es este el método correcto? ¿Qué otro método hay?

Después de encontrar los valores propios, el lagrangiano se puede escribir separado en sus modos normales, y el propagador o núcleo se puede encontrar fácilmente usando el de la partícula libre. El límite de esto como $N\to \infty$ debería ser el campo de klein gordon.

Pero estoy atascado en esto. Cualquier ayuda será apreciada.

Pedro Kravchuk

En algunos casos (y creo que el tuyo también puede funcionar), es suficiente usar el ansatz

q_{l} = ℜ \exp (i k l - i ω t), 1 \leq l \leq n

$q_l=\Re\exp(ikl-i\omega t),\,1\leq l\leq n$ . Trate de resolver para

k

$k$ y demuestre que tiene el número correcto de soluciones (

n

$n$ soluciones). Tenga en cuenta, sin embargo, que en su caso debe considerar el modo cero

q_{l} = v t

$q_l=vt$ -- la rotación correcta -- por separado, así que tienes que buscar

n - 1

$n-1$ soluciones solamente.

Trimok

Primero, quita la diagonal "2". entonces tienes una matriz

V'

$V′$ con

V' = (a + a^{- 1})

$V′=(a+a^{−1})$ dónde

a^{n} = I d

$a^n=Id$ . Entonces, tienes fácilmente los valores propios de

a

$a$ . Y un vector propio de a es también un vector propio de

V^{'}

$V'$ . Así que tienes los valores propios de

V^{'}

$V'$ , y sumando 2, de

V

$V$ .

Trimok

Lo siento, olvidé un

(- 1)^{n}

$(-1)^n$ factor :

a^{n} = (- 1)^{n} I d

$a^n = (-1)^n Id$

Pedro Kravchuk

@Trimok, esto es bueno, pero tienes que inventar algún argumento para demostrar que no hay degeneración y que tienes todas las raíces de la unidad en el espectro de

a

$a$ .

Heidar

Me pregunto si hay alguna razón profunda por la que Matrix

V

$V$ es la matriz de Cartan extendida para

s l (N, C) = s u (N)^{C}

$\mathfrak{sl}(N,\mathbb C) = \mathfrak{su}(N)^{\mathbb C}$ , o más exactamente el álgebra de Lie afín

\hat{s l} (N, C)

$\hat{\mathfrak{sl}}(N,\mathbb C)$ .

Trimok

@PeterKravchuk: Correcto pero obvio, ¿no? : El

n

$n$ las raíces de la unidad son diferentes, y son valores propios, y no hay más que

n

$n$ valores propios para un

n

$n$ veces

n

$n$ matriz, por lo que no hay degeneración. Por cierto, la matriz a se llama matriz de desplazamiento o matriz con estructura de desplazamiento.

Trimok

@PeterKravchuk: Tal vez apreciará otros tipos de matrices tridiagonales, como esta

Pedro Kravchuk

@Trimok, quiero decir eso

{I d}^{2} = I d

$\mathrm{Id}^2=\mathrm{Id}$ , pero esto no significa que

- 1

$-1$ es un valor propio de

I d

$\mathrm{Id}$ . Probablemente me estoy perdiendo tu argumento. Gracias por el enlace.)

Trimok

@PeterKravchuk: tal vez tenga razón, pero su contraejemplo es multiplicativo, también en este caso es aditivo (

a + a^{+}

$a + a^+$ )

Pedro Kravchuk

@Trimok, me refiero a los valores propios de

a

$a$ . ¿Cómo sabes que no son todos, digamos,

\pm 1

$\pm 1$ ?

Respuestas (1)

Diagonalización/valores propios de la matriz de dimensión infinita de N osciladores armónicos en un anillo

En algunos casos (y creo que el tuyo también puede funcionar), es suficiente usar el ansatz $q_l=\Re\exp(ikl-i\omega t),\,1\leq l\leq n$ . Trate de resolver para $k$ y demuestre que tiene el número correcto de soluciones ( $n$ soluciones). Tenga en cuenta, sin embargo, que en su caso debe considerar el modo cero $q_l=vt$ -- la rotación correcta -- por separado, así que tienes que buscar $n-1$ soluciones solamente.
Primero, quita la diagonal "2". entonces tienes una matriz $V′$ con $V′=(a+a^{−1})$ dónde $a^n=Id$ . Entonces, tienes fácilmente los valores propios de $a$ . Y un vector propio de a es también un vector propio de $V'$ . Así que tienes los valores propios de $V'$ , y sumando 2, de $V$ .
@Trimok, esto es bueno, pero tienes que inventar algún argumento para demostrar que no hay degeneración y que tienes todas las raíces de la unidad en el espectro de $a$ .
Me pregunto si hay alguna razón profunda por la que Matrix $V$ es la matriz de Cartan extendida para $\mathfrak{sl}(N,\mathbb C) = \mathfrak{su}(N)^{\mathbb C}$ , o más exactamente el álgebra de Lie afín $\hat{\mathfrak{sl}}(N,\mathbb C)$ .
@PeterKravchuk: Correcto pero obvio, ¿no? : El $n$ las raíces de la unidad son diferentes, y son valores propios, y no hay más que $n$ valores propios para un $n$ veces $n$ matriz, por lo que no hay degeneración. Por cierto, la matriz a se llama matriz de desplazamiento o matriz con estructura de desplazamiento.
@PeterKravchuk: Tal vez apreciará otros tipos de matrices tridiagonales, como esta
@Trimok, quiero decir eso $\mathrm{Id}^2=\mathrm{Id}$ , pero esto no significa que $-1$ es un valor propio de $\mathrm{Id}$ . Probablemente me estoy perdiendo tu argumento. Gracias por el enlace.)
@PeterKravchuk: tal vez tenga razón, pero su contraejemplo es multiplicativo, también en este caso es aditivo ( $a + a^+$ )
@Trimok, me refiero a los valores propios de $a$ . ¿Cómo sabes que no son todos, digamos, $\pm 1$ ?

Pedro Kravchuk · Answer 1

Desea encontrar las frecuencias propias de este sistema. Primero, tenga en cuenta la existencia del modo cero:

q_{yo} = v t + ϕ_{yo},

$q_l=vt+\phi_l,$ es el 'equilibrio' girando alrededor con una velocidad arbitraria.

A continuación, tenemos las ecuaciones.

{\ddot{q}}_{yo} = - ω^{2} (2 q_{yo} - q_{yo - 1} - q_{yo + 1})

$\ddot{q}_l=-\omega^2(2q_l-q_{l-1}-q_{l+1})$ y la condición de periodicidad

q_{l + n} = q_{l}

$q_{l+n}=q_l$ . Usemos el ansatz para los vectores propios

q_{yo} = ℜ A Exp (i k yo - i Ω t) .

$q_l=\Re A\exp(ikl-i\Omega t).$ Lecturas de sustitución

Ω^{2} = ω^{2} (2 - {mi}^{- i k} - {mi}^{i k}) = 2 ω^{2} (1 - porque k),

$\Omega^2=\omega^2(2-e^{-ik}-e^{ik})=2\omega^2(1-\cos k),$ mientras que la condición de periodicidad es

n k = 2 π m, m \in Z

$nk=2\pi m,\,m\in\mathbb{Z}$ . restrinjamos

k

$k$ a

(0, 2 π)

$(0,2\pi)$ , para excluir el doble conteo de los vectores propios y el modo cero. Entonces

m = 1, \dots, n - 1

$m=1,\dots,n-1$ , y la frecuencia propia dice:

Ω^{2} = 2 ω^{2} (1 - porque \frac{2 π metro}{norte}), metro \in {1 \dots norte - 1} .

$\Omega^2=2\omega^2(1-\cos \frac{2\pi m}{n}),\,m\in\{1\dots n-1\}.$ Así tenemos

n - 1

$n-1$ vectores de la forma

q_{l} = ℜ A \exp (i k l - i Ω t)

$q_l=\Re A\exp(ikl-i\Omega t)$ con la frecuencia propia anterior, y un modo cero dado por

q_{l} = v t + l δ

$q_l=vt+l\delta$ ,

δ

$\delta$ siendo la distancia de equilibrio, con frecuencia cero. Entonces, el espectro completo se lee como

Ω^{2} = 2 ω^{2} (1 - porque \frac{2 π metro}{norte}), metro \in {0 \dots norte - 1} .

$\Omega^2=2\omega^2(1-\cos \frac{2\pi m}{n}),\,m\in\{0\dots n-1\}.$ (Tenga en cuenta que este es el espectro completo ya que hemos encontrado todos

n

$n$ vectores propios).

Editar: tenga en cuenta que mientras $n-m$ corresponde al mismo valor propio que $m$ , tenemos dos vectores propios diferentes para cada valor propio, porque $A$ puede ser complejo. Por ejemplo, podemos tomar $q_l=\cos(kl-\Omega t)$ y $q_l=\sin(kl-\Omega t)$ , $k=\frac{2\pi m}{n}$ .

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usuario7757

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Pedro Kravchuk

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