¿Es esta realmente la definición rigurosa de la integral de trayectoria en Mecánica Cuántica?

Question

¿Es esta realmente la definición rigurosa de la integral de trayectoria en Mecánica Cuántica?

Oro

Sea dado un sistema cuántico con un solo grado de libertad. Queremos definir la integral de trayectoria para obtener la representación del propagador como

⟨ q^{'} | {mi}^{- i H T} | q ⟩ = \int_{X (a) = q, X (b) = q^{'}} D X (t) {mi}^{i S [X (t)]} .

$\langle q' |e^{-iHT}|q\rangle=\int_{x(a)=q, x(b)=q'} \mathcal{D}x(t) e^{iS[x(t)]}.$

Ahora, quiero asegurarme de que entiendo cómo se define esta integración en términos más rigurosos. Mi problema es que la mayoría de los textos parecen simplemente definir esa integral particular anterior (de $e^{iS[x(t)]}$ ) pero para mí, definir una integral de trayectoria significaría definir qué entendemos por funcional para ser integrable y definir cómo se integraría, siendo el anterior solo un caso.

Así que traté de extraer la definición real del libro QFT de Peskin y quiero verificar si lo hice bien.

Entonces, en resumen, queremos definir la integral de un funcional $\mathfrak{F}[x(t)]$

\int F [X (t)] D X (t) .

$\int \mathfrak{F}[x(t)] \mathcal{D}x(t).$

Después de leer varias veces lo que hace Peskin, se me ocurrió lo siguiente:

Definición : Dejar $[a,b]\subset \mathbb{R}$ y dejar una partición $P$ de $[a,b]$ ser dado:
$a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{norte - 1} < t_{norte} = b .$ $a=t_0<t_1<\cdots<t_{N-1}<t_N=b.$ Dejar $x_0,\dots, x_{N}\in \mathbb{R}$ . Llamamos al camino suave por partes $x : [a,b]\to \mathbb{R}$ dada por $X (t) = X_{k} + \frac{X_{k + 1} - X_{k}}{t_{k + 1} - t_{k}} (t - t_{k}), t \in [t_{k}, t_{k + 1}], k \in {0, \dots, norte}$ $x(t)=x_k+\frac{x_{k+1}-x_k}{t_{k+1}-t_k}(t-t_k),\quad t\in [t_{k},t_{k+1}],\quad k\in \{0,\dots, N\}$ una interpolación lineal de los puntos $x_0,\dots, x_N$ .

Definición : Dejar $C_p^{\infty}([a,b];\mathbb{R})$ Sea el espacio de trayectorias suaves definidas en $[a,b]$ . dejar más $\mathfrak{F}: C_p^\infty([a,b];\mathbb{R})\to \mathbb{C}$ sea un funcional dado que actúe sobre tales caminos.

dejar más $P$ ser una partición de $[a,b]$ en $N$ subintervalos. Definimos el funcional $\mathfrak{F}_P : \mathbb{R}^{N+1}\to \mathbb{C}$ con respecto a esta partición para ser

$F_{PAG} (X_{0}, \dots, X_{norte}) = F [X_{PAG} (t)]$ $\mathfrak{F}_P(x_0,\dots,x_N)=\mathfrak{F}[x_P(t)]$

dónde $x_P(t)$ es la interpolación lineal de los puntos $x_0,\dots, x_N$ .

Definición : Dejar $C^\infty_p([a,b];\mathbb{R})$ Sea el espacio de trayectorias suaves definidas en $[a,b]$ . Deja un funcional $\mathfrak{F}: C^\infty_p([a,b];\mathbb{R})\to \mathbb{C}$ ser dado.

Nosotros decimos eso $\mathfrak{F}$ es funcionalmente integrable si el límite:

$\underset{| PAG | \to 0}{límite} \int_{R^{norte + 1}} F_{PAG} (X_{0}, \dots, X_{norte}) d X_{0} \dots d X_{norte}$ $\lim_{|P|\to 0}\int_{\mathbb{R}^{N+1}} \mathfrak{F}_P(x_0,\dots, x_N) dx_0\cdots dx_{N}$

existe, donde $|P|$ es la malla de la partición, dada por
$| PAG | = máximo {t_{k + 1} - t_{k} | k \in {0, \dots, norte}} .$ $|P|=\max\{t_{k+1}-t_k | k\in \{0,\dots, N\}\}.$ En ese caso llamamos a tal límite la integral funcional de $\mathfrak{F}$ y lo denotamos por

$\int D X (t) F [X (t)] .$ $\int \mathcal{D}x(t) \mathfrak{F}[x(t)].$

Entonces, ¿es esa la idea matemática detrás de esto? Al final para Física nos interesaría el caso $\mathfrak{F}[x(t)]=e^{iS[x(t)]}$ .

Entonces, en ese proceso, creo que el paso crucial es:

El procedimiento de división de tiempo junto con la construcción de interpolación lineal nos permite convertir un funcional $\mathfrak{F}$ en una función ordinaria que obviamente depende de la división de tiempo particular (la partición).
La función se puede integrar dando un resultado que depende de la partición. Luego estudiamos el límite a medida que la malla llega a cero.
La cosa con continuación analítica, rotación de Wick y acción euclidiana, aparecería solo para el funcional específico. $e^{iS[x(t)]}$ para conseguir algo que sea funcionalmente integrable.

¿Lo tengo bien? ¿Es esta la versión matemáticamente precisa real de lo que se hace en la mayoría de los textos QM/QFT?

Si no, ¿dónde me equivoqué o qué me perdí?

Lucas

Esta es la idea principal, pero en el contexto de QFT, los procedimientos están lejos de ser rigurosos. En la mayoría de los casos de interacción, no se puede demostrar que los límites existen.

Átomo

¡Realmente me encantó tu clara exposición de este formalismo casi nunca encontrado! Sin embargo, solo una pregunta: ¿No deberíamos usar

\int_{R^{N - 1}} F_{P} (x_{1}, \dots, x_{N - 1}) d x_{1} \dots d x_{N - 1}

$\int_{\mathbb{R}^{N-1}} \mathfrak{F}_P(x_1,\dots, x_{N-1}) dx_1\cdots dx_{N-1}$ en su integral, ya que esto se evalúa para puntos finales fijos

(t_{0}, x_{0})

$(t_0, x_0)$ y

(t_{N}, x_{N})

$(t_N, x_N)$ .

Respuestas (2)

¿Es esta realmente la definición rigurosa de la integral de trayectoria en Mecánica Cuántica?

Esta es la idea principal, pero en el contexto de QFT, los procedimientos están lejos de ser rigurosos. En la mayoría de los casos de interacción, no se puede demostrar que los límites existen.
¡Realmente me encantó tu clara exposición de este formalismo casi nunca encontrado! Sin embargo, solo una pregunta: ¿No deberíamos usar $\int_{\mathbb{R}^{N-1}} \mathfrak{F}_P(x_1,\dots, x_{N-1}) dx_1\cdots dx_{N-1}$ en su integral, ya que esto se evalúa para puntos finales fijos $(t_0, x_0)$ y $(t_N, x_N)$ .

yuggib · Answer 1

Una definición matemáticamente rigurosa y satisfactoria de la integral de trayectoria se relaciona principalmente con la resolución de dos problemas:

Para dar una definición adecuada de medida en el espacio de caminos (no existe una medida de Lebesgue, es decir, una $\sigma$ -medida finita, invariante a la traducción - y, por lo tanto, se utilizará otra medida);
Para dar una definición adecuada de integrales oscilatorias (una integral de una fase oscilante en un conjunto de medida infinita se define de manera ambigua).

En mecánica cuántica no relativista, es posible definir la integral de trayectoria en tiempo imaginario con total rigor, haciendo uso esencialmente de la integración estocástica browniana (medida de Wiener sobre trayectorias). De hecho, en tiempo imaginario la fase oscilante se convierte en un factor exponencial amortiguador, simplificando mucho la definición de la integral, y parte de la exponencial se utiliza para definir la medida de Wiener. Esto es muy útil para estudiar semigrupos del tipo $e^{-\tau (-\Delta +V)}$ , para potenciales adecuados $V$ , cuando sea $\tau\geq 0$ . En condiciones adecuadas, esto también puede dar alguna información sobre el grupo unitario. $e^{-it (-\Delta +V)}$ (por ejemplo, puede usarse para probar la autoadjunción de $(-\Delta+V)$ , garantizando así la existencia del grupo unitario de evolución). La fórmula de la integral de trayectoria rigurosa para los operadores de Schrödinger toma el nombre de fórmula de Feynman-Kac . También se puede extender a algunas teorías de campos cuánticos simples de partículas que interactúan con un campo de radiación (ya sea a través de un acoplamiento mínimo o lineal).

En tiempo real, ha habido intentos de definir la integral de trayectoria como una integral oscilatoria en el espacio de trayectorias, utilizando ideas de Hörmander. Esto se debe a Albeverio, Høegh-Krohn, Mazzucchi y otros . Sin embargo, existen serias complicaciones en este caso, y es posible dar una definición coherente y consistente solo en muy pocos casos simples especiales (como el oscilador armónico y algunas perturbaciones del mismo).

El segundo procedimiento es quizás más adherente en su espíritu al descrito por el OP, y cuida adecuadamente las sutilezas matemáticas como la independencia de la definición de la aproximación elegida de la integral. Desafortunadamente, permítanme comentar nuevamente que solo es significativo para algunos sistemas específicos.

anomalía quiral · Answer 2

¿Es esta la versión matemáticamente precisa real de lo que se hace en la mayoría de los textos QM/QFT?

La descripción en la pregunta parece correcta. En QM, la idea básica es primero discretizar el tiempo para hacer que el número de variables de integración sea finito (de modo que el integrando se reduzca a una función multivariable ordinaria en lugar de una función funcional), luego evaluar esa integral multivariable ordinaria y luego tomar la límite del resultado a medida que el tamaño del paso de tiempo llega a cero, como se propone en la pregunta.

La misma idea se utiliza para definir una integral de "camino" en la teoría cuántica de campos. En ese caso, tanto el tiempo como el espacio están discretizados, porque las "variables" de integración son funciones tanto del tiempo como del espacio. En otras palabras, el espacio-tiempo continuo se reemplaza con una red discreta (y finita) para definir integrales de trayectoria en QFT. Pero en la mayoría de los casos con una o más dimensiones del espacio, como QED y QCD, en realidad no sabemos (rigurosamente) si existe un límite continuo no trivial. Puede que no exista en QED, pero presumiblemente sí en QCD, y hay un Premio del Milenio esperando a la primera persona que lo demuestre.

Una advertencia importante es que en QFT, cuando se varía el tamaño de paso de la red, los diversos parámetros en la acción (parámetros de masa y coeficientes de acoplamiento) también deben variar de la manera correcta para mantener fijas las predicciones de baja resolución del modelo. "Baja resolución" aquí se refiere a escalas mucho más gruesas que el tamaño de paso. Incluso si el límite continuo realmente existe, para que ese límite no sea trivial (lo que significa que conserva interacciones distintas de cero entre los diversos campos), los parámetros de masa y los coeficientes de acoplamiento deben considerarse funciones apropiadas del paso- tamaño al tomar el límite continuo. Esta es la base para la comprensión moderna de la renormalización. Con respecto a la renormalización en QM, consulte "Renormalización en mecánica cuántica" (https://arxiv.org/abs/hep-th/9305052 ).

Para las teorías de calibre quiral no abelianas (como el modelo estándar), la última vez que verifiqué, aún no sabemos cómo definir la integral de trayectoria , ni siquiera en el espacio-tiempo discreto.

Pero al menos para el caso de QM, como se muestra en la pregunta, funciona.

¿Es esta realmente la definición rigurosa de la integral de trayectoria en Mecánica Cuántica?

Oro

Lucas

Átomo

Respuestas (2)

yuggib

anomalía quiral

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