No podemos esperar una antiderivada explícita pero
Xpecado( X )=mipecado( x ) registro( X )
Ahora, componga series de Taylor alrededor
x = 0
tener
Xpecado( X )=∑norte = 0∞anorten !Xnorte
donde el
anorte
son polinomios en
t = registro( X )
.
Calculando los primeros
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜norte012345678910anorte1tt2t3- tt4− 4t2t5− 10t3+ tt6− 20t4+ 16t2t7− 35t5+ 91t3- tt8− 56t6+ 336t4− 64t2t9− 84t7+ 966t5− 820t3+ tt10− 120t8+ 2352t6− 5440t4+ 256t2⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
lo que significa que para
norte ≥ 1
, te enfrentas a integrales
Im , norte=∫10Xmetroregistronorte( X )dx = ( - 1)norten !( metro + 1)norte + 1
Usando la tabla anterior, en función del orden de la expansión deberíamos tener las aproximaciones sucesivas para
∫10Xpecado( X )dX
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜0123456134851085485691217089937216000004615057995832000003801136361458574802902776000001.0000000.7500000.7870370.7935470.7912010.7913340.791425⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
mientras que la integración numérica da
0.791403
.
Por diversión, usé todos los valores dados en la primera tabla y obtuve
1180339004076229256103126668425975365562714914487726878692033020558868480000000000= 0.7914043 22
ser comparado con
0.791404300
para el caso de
∫π20Xpecado( X )dX
lo mismo podría aplicarse pero es más complicado ya que
Im , norte=∫π20Xmetroregistronorte( X )dx = ( - 1)norteΓ ( norte + 1 , ( metro + 1 ) iniciar sesión(2π) )( metro + 1)norte + 1
donde aparece la función gamma incompleta.
Usando todos los términos dados, deberíamos tener1.52012
mientras que la integración numérica da1.52029
Editar (por su curiosidad)
Hubiera sido agradable trabajar con
Xpecado( X )=∑norte = 0∞1n ![ pecado( x ) registro( X )]norte
∫Xpecado( X )dx =∑norte = 0∞1n !∫[ pecado( x ) registro( X )]nortedX
las integrales
Inorte= ∫[ pecado( x ) registro( X )]nortedX
son conocidas pero involucran un montón de funciones hipergeométricas (incluso con coeficientes imaginarios).
La excepción es la primera que es fácil de calcular usando una integración por partes
I= ∫pecado( x ) registro( X )dx = Ci ( x ) − registro( x ) porque( X )
a partir del cual
I=∫10pecado( x ) registro( X )dx = Ci ( 1 ) − γ
daría para la integral definida
0.760188
.
I=∫π20pecado( x ) registro( X )dx = ci (π2) −γ
daría para la integral definida
1.46558
.
PrincesaEev
elmejormago
Dstarred
Claudio Leibovici