¿Podría dar condiciones de contorno al potencial gravitacional dada la distribución de densidad?

Cada problema de ecuación diferencial tiene dos partes: la ecuación diferencial en sí misma y la condición de contorno. Ninguno de los dos puede decirle al otro por sí mismo. Considerar$y'' = -k^2 y$. ¿La solución es seno o coseno? La respuesta depende de las condiciones de contorno, y tengo que especificarlas. No puedo obtenerlos especificando nada en la ecuación.

Entonces, digamos que su ecuación diferencial es algo similar a$\nabla^2 \phi = \rho$, dónde$\phi$es un potencial y$\rho$es alguna fuente. (Su ecuación real puede diferir de esto en constantes, pero supongo que está resolviendo la ecuación de Poisson de todos modos). Necesitará condiciones para cada coordenada, y la forma depende de las coordenadas que use. Si estás en cilíndrico o esférico, tienes algo de radio$r$. Por lo general, las personas toman el potencial para ir a cero en$r \to \infty$, y/o requieren que$\phi$ser regular en$r = 0$. Estos tienden a elegir$r^\ell$o$r^{-(\ell + 1)}$soluciones, según la que impongas. Para las coordenadas angulares, lo importante a menudo es preservar la periodicidad, por lo que debe asegurarse de que$\phi(\theta) = \phi(\theta + 2 \pi)$.