Infinidad conforme del espacio-tiempo de Minkowski: ¿por qué no permitir el rango completo de RRR?

Básicamente, desea tener un identificador para hablar de los puntos limitantes "en el infinito" y no agregar algunas copias o foliaciones desconectadas del espacio de Minkowski. En otras palabras, el espacio adicional que está agregando al pasar de$R<\pi$a$R\leq \pi$puede pensarse correctamente como puntos limitantes del espacio original, mientras que va a$R<\infty$agrega mucho espacio adicional que no se puede mapear fácilmente a las coordenadas originales.

En términos de caminos, un rayo de luz saliente en el espacio de Minkowski se acercaría asintóticamente$R=\pi$, pero no alcanzará ningún valor$R>\pi$.

Actualización: puede pensar intuitivamente en los puntos limitantes del espacio de Minkowski como aquellos puntos donde$t$o$r$"volverse infinito". (Tenga en cuenta que las coordenadas angulares no juegan un papel importante aquí, por lo que podría haber básicamente cualquier cantidad de ellas). Dado que la métrica original es$\text{d} s^2=-\text{d} t^2+\text{d} r^2+\dots$, estos puntos límite pueden estar infinitamente lejos en el espacio,$\int\text{d} s^2\to\infty$, o el tiempo,$\int\text{d} s^2\to-\infty$, o infinitamente lejos en distancias afines a lo largo de geodésicas nulas. El diagrama conforme mapea los rangos infinitos de$t$y$r$a intervalos abiertos finitos (por ejemplo, de$T$y$R$), y al agregar los puntos finales tenemos una forma bien definida de hablar sobre los "puntos en el infinito" y cómo se relacionan con la estructura causal del espacio-tiempo.

Para empezar, el tensor métrico se volvería infinito para$|U|,|V|=\frac{\pi}{2}$, por lo que la extensión de coordenadas de OP no está permitida.

Después de los comentarios de @BenCrowell, pensé mejor en la pregunta y creo que encontré la respuesta yo mismo. Estoy publicando mis conclusiones. Si está mal en algún aspecto, me gustaría ser advertido en los comentarios.

La "motivación" para todo esto sería realizar el infinito como un "lugar". La idea de infinito depende entonces de cómo nos acerquemos a él: a través de líneas temporales, líneas luminosas o líneas espaciales. Cuál elijamos obviamente dependerá del problema en cuestión.

Para analizar, por ejemplo, la radiación llevada al infinito por un campo de Klein-Gordon sin masa, necesitaríamos acercarnos al infinito a través de líneas similares a la luz. Para establecer estados de entrada/salida asintóticos con partículas sin masa, también necesitaríamos acercarnos al infinito a través de líneas similares a la luz, etc.

En el caso de acercarse a través de líneas similares a la luz, heurísticamente hablando, queda claro que este "lugar" se alcanzaría siguiendo geodésicas nulas hasta llegar a sus puntos finales. Estas geodésicas se dividen en dos categorías: entrantes y salientes. Para describir entonces introducimos coordenadas$u = t-r$y$v=t+r$que respectivamente tienen los significados:

1. $u$en un evento es la coordenada de tiempo en la que un observador en el origen emite luz que llega a ese evento.
2. $v$en un evento es la coordenada de tiempo en la que un observador en el origen percibe la luz emitida a lo lejos que se detecta en ese evento.

Las geodésicas similares a la luz entrantes son entonces$v$las líneas constantes y las geodésicas similares a la luz salientes son entonces$u$lineas constantes.

El "lugar" que nos gustaría definir como el infinito para direcciones similares a la luz son los puntos finales de estas geodésicas.

Sin embargo, nos enfrentamos a un problema. El espacio-tiempo de Minkowski es geodésicamente completo. Esto significa que las geodésicas inextensibles ya contienen todos los puntos finales posibles. Entonces, incluso si "acercamos el infinito" transformando las coordenadas a$U=\arctan u$y$V = \arctan v$los extremos correspondientes a$U,V=\pm \pi/2$no se puede agregar al espacio-tiempo de Minkowski.

Esto se refleja en la métrica. Como se señaló en los comentarios, la métrica es esencial para esta discusión. En$U,V$coordenadas la métrica se convierte en

Está claro que en los tan buscados puntos finales de estas geodésicas$ds^2$explota como un reflejo de que el espacio-tiempo de Minkowski ya es geodésicamente completo y, por lo tanto, inextensible como una variedad pseudo-riemanniana.

Físicamente, esto reflejaría el hecho de que nuestra transformación realizó un cambio de escala para acercar el infinito, pero en el infinito debería haber una cantidad infinita de estiramiento, ya que, después de todo, originalmente estaba infinitamente lejos.

Sin embargo, podemos descartar el término divergente y considerar una métrica totalmente nueva que es

Ahora los mismos rangos de coordenadas$U,V$para Minkowski el espacio-tiempo con esta métrica es otro espacio-tiempo y este no es geodésicamente completo. Este en realidad se puede extender agregando los puntos finales de las geodésicas.

Por supuesto, la extensión se puede realizar en las coordenadas$U,V$. Aún así, vemos en la métrica que es periódica con respecto a$V-U$. Por lo tanto, la extensión deseada será periódica con respecto a$V-U$.

Introduciendo$V-U = R$como una nueva coordenada y$T = U+V$como compañero, vemos que incluso si extendemos$R$para recorrer toda la línea real, solo introduciremos "etiquetas dobles" para los mismos eventos, ya que la extensión que estamos realizando debe ser consistentemente$\pi$-periódico en$R$.

En esa configuración podemos tomar uno de los rangos posibles, digamos$0\leq R\leq \pi$mientras que no existe tal requisito de periodicidad además de$T$que puede correr libremente de$-\infty$a$\infty$.

Finalmente con esto obtenemos un nuevo espacio-tiempo no físico$(M,\tilde{g})$cuya región descrita por$U,V\in (-\pi/2,\pi/2)$ no es el espacio-tiempo de Minkowski que era inextensible, sino más bien conforme al espacio-tiempo de Minkowski, reflejando el cambio original de escala introducido para acercar el infinito.

El tan deseado infinito$\mathscr{I}$se define entonces sobre esta multiplicidad no física con la métrica no física que admitía la extensión deseada.