¿Por qué la mecánica hamiltoniana está bien definida?

Esta es una buena pero bastante amplia pregunta. Suprimamos la dependencia de la posición$q^i$,$i\in\{1, \ldots, n\}$, y dependencia temporal explícita$t$a continuación para mantener la notación simple.

Dado un Lagrangiano$L(v)$, varias cosas podrían salir mal si intentamos realizar una transformación de Legendre para construir un hamiltoniano$H(p)$. Definir por conveniencia posterior la función

$$h(v,p)~:=~p_j v^j -L(v). \tag{0}$$ Como se explica en la página de Wikipedia, hay al menos dos definiciones de transformación de Legendre :

$$H(p)~:=~ \sup_v h(v,p) ,\tag{1}$$

y

$$\begin{align} g_j(v)~:=~&\frac{\partial L(v)}{\partial v^j}, \qquad f~:=~ g^{-1} , \cr H(p)~:=~&h(f(p),p)~=~p_i f^i(p) -L\circ f(p).\end{align}\tag{2}$$

La primera definición 1 (que es la llamada transformada de Legendre-Fenchel) tiende a funcionar mejor para lagrangianos convexos (posiblemente no diferenciables).$L$, mientras que la última definición 2 (que históricamente es la transformación original de Legendre) tiende a funcionar mejor para lagrangianos diferenciables (posiblemente no convexos)$L$. Pero en general necesitamos imponer más condiciones, como queda claro a continuación. (No hace falta decir que estas condiciones pueden violarse en los sistemas reales).

Con respecto a la definición anterior 1, consulte también this , this Phys.SE posts y this Math.SE post. Los trabajos en física matemática / estadística rigurosa parecen preferir la definición 1. En la mecánica clásica y la teoría de campos, tradicionalmente usamos la última definición 2, en la que nos concentraremos a partir de ahora en esta respuesta.

Por razones técnicas, a menudo se impone una condición de regularidad de que el$n\times n$matriz Hessiana$^1$

$$H_{ij}~:=~\frac{\partial g_j(v)}{\partial v^i}~=~\frac{\partial^2 L(v)}{\partial v^i\partial v^j} \tag{3}$$ tiene rango constante$r$.

si el rango$r=n$es máxima, el teorema de la función inversa garantiza la existencia local (pero no global) de una función inversa$f$.

Si una función inversa definida globalmente$f$existe, entonces la construcción del hamiltoniano$H(p)$fue discutido en esta publicación de Phys.SE.

si el rango$r<n$no es máxima, entonces la transformación de Legendre es singular. Entonces no podemos expresar todas las velocidades$v^i$como funciones de momento$p_j$, solamente$r$del mismo. Esto lleva a$n-r$ restricciones primarias . Resulta que formalmente en este caso singular$r<n$, todavía es posible construir localmente un hamiltoniano en un espacio de fase extendido tal que la transformación de Legendre sea una involución . Ver, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí y las referencias allí.

Finalmente, debemos mencionar que incluso si podemos definir matemáticamente la transformada de Legendre$H(p)$, no hay garantía de que tenga sentido físicamente. Por ejemplo, en QM normalmente requerimos que el operador hamiltoniano$\hat{H}$es autoadjunto y acotado por abajo.

Referencias:

1. Hugo Touchette, Legendre-Fenchel se transforma en pocas palabras , 2005.

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$^1$Por cierto, el ejemplo de OP

$$L(v)~=~\frac{1}{3}v^3\tag{4}$$ viola la condición de rango constante (3). Para este ejemplo, la definición 1 produce $$H(p)~=~ \infty,\tag{5}$$ mientras que la definición 2 produce un hamiltoniano de doble valor $$\begin{align}g(v)~=~&v^2,\qquad f(p)~=~\pm \sqrt{p}, \cr H(p)~=~&\pm\frac{2}{3}p^{\frac{3}{2}}, \qquad p~\geq~ 0.\end{align}\tag{6}$$ Parece que para tener un modelo físico viable habría que descartar la rama negativa.