Incertidumbre en la medida de la temperatura utilizando un oscilador acoplado a un baño

Estoy considerando un oscilador armónico acoplado a un baño (por ejemplo, un gas). El oscilador está sujeto a un amortiguamiento y a una fuerza de Langevin fluctuante

dónde$x(t)$es la posición,$m$la masa, y$k$la constante de resorte del oscilador.$\gamma$es la constante de amortiguamiento y$F_\mathrm{fluct}$la fuerza fluctuante que cumple$\langle F_\mathrm{fluct}(t)F_\mathrm{fluct}(t') \rangle=2m\gamma k_B T\delta(t-t')$. Aquí$T$es la temperatura del baño y$k_B$la constante de Boltzmann. El oscilador estará en equilibrio térmico con el baño y debido a las fluctuaciones, la amplitud de la oscilación fluctuará con el tiempo en una escala de tiempo del orden de$1/\gamma$.

El objetivo es medir la temperatura del baño.$T$, dada una traza de tiempo de la posición del oscilador$x(t)$de la duración de la medición$\tau$. Sé que la temperatura del baño se puede calcular a partir de la variación de la posición.

Sin embargo, si la duración de la medición$\tau$es finito, tendré un error en la medición de temperatura, porque la amplitud de oscilación es fluctuante.

¿Cuál es la incertidumbre de la medida?$\Delta T$en función de la duración de la medición$\tau$y tasa de amortiguamiento$\gamma$.

Nota: Las mediciones sugieren que la desviación estándar de la medición de temperatura es del 1 % para$\tau\approx \frac{2000}{(\gamma/2\pi)}$y 5% para$\tau\approx \frac{100}{(\gamma/2\pi)}$. Sin embargo, estos resultados son puramente empíricos y me gustaría entender si esto tiene sentido desde el punto de vista estadístico.