¿Es este argumento geométrico suficiente para mostrar que la relatividad especial asume un espacio-tiempo plano?

Me estoy preparando para dar una clase sobre relatividad especial dentro de unas semanas. Para asegurarme de que entiendan que el espacio-tiempo debe ser plano para que funcione la relatividad especial, se me ocurrió el siguiente argumento, que se basa en la famosa derivación de la dilatación del tiempo donde un marco de referencia en movimiento ($S'$) ve que la luz toma un camino más largo debido al movimiento entre los marcos de referencia. Básicamente, esta derivación.

Para hacer un poco de contexto y definir la notación, aquí está la imagen que estoy usando:

Así que hay un marco de referencia.$S$, estacionario en relación con una fuente de luz. otro cuadro$S'$se aleja de la fuente con velocidad$v$. La luz se emite y toma un tiempo$t$en el marco$S$para llegar al 'techo'. Si entramos en el marco de referencia$S'$vemos que la luz toma un camino diferente debido al movimiento del marco$S$(esto hace que el marco$S'$para medir un tiempo$t'$hasta que la luz alcance el 'techo'). La imagen famosa para este efecto es:

Ahora aquí es donde comienza mi argumento:

Cuando dibujamos el movimiento de la luz en ambos marcos, podemos crear un triángulo rectángulo como se muestra. ¡Pero para derivar la fórmula de dilatación del tiempo, terminamos teniendo que asumir que se cumple el Teorema de Pitágoras! Dado que las transformaciones de Lorentz para la relatividad especial dependen de este paso (y así lo hace toda la Relatividad Especial), parece que toda la Relatividad Especial depende de asumir que el Teorema de Pitágoras funcionará.

¡Pero el teorema de Pitágoras solo se cumple si la geometría es euclidiana! Por lo tanto, la Relatividad Especial solo funcionará si el espacio tiene geometría euclidiana.

Desde aquí presentaría la idea de que para generalizar la Relatividad a cualquier geometría necesitaríamos usar la Relatividad General (GR). Pero el propio GR dice que para regiones lo suficientemente pequeñas, el espacio-tiempo siempre puede ser aproximadamente plano, lo que significa que la Relatividad Especial se mantiene en experimentos de laboratorio, interacciones de partículas, etc. en la Tierra debido a que el espacio es aproximadamente euclidiano para esos casos.

Y este es el argumento que quiero presentar. Sin embargo, me temo que este argumento podría no ser correcto por alguna razón (tal vez haya algún error en la relación entre el espacio-tiempo plano y el espacio euclidiano, pero no estoy seguro). Tengo antecedentes aceptables en relatividad especial, por lo que las explicaciones complejas y otros argumentos (correctos) para esto son bienvenidos. Mi problema es que no estoy tan familiarizado con las matemáticas de GR, y esto podría convertirse en un gran problema para cualquier argumento que presente aquí.

Entonces pregunto: ¿hay un error en este argumento? O aguanta? ¿Es suficiente? Si no es así, corríjame y/o vincúleme a un buen argumento que pueda presentar. Mis alumnos tampoco han visto nunca un tensor en su vida, así que si es posible evítenlos. Pero de todos modos, ¡toda ayuda es bienvenida!