Importancia de que el operador de intercambio se desplace con hamiltoniano

$[H,P]=0$significa que el hamiltoniano no mezcla estados simétricos y antisimétricos, es decir, para cualquier$|\psi_\mathrm{S}\rangle$y$|\psi_\mathrm{A}\rangle$tenemos

$$\langle\psi_\mathrm{S}|H|\psi_\mathrm{A}\rangle=0.$$ Hay dos consecuencias:

1) Si tratamos de encontrar el estado propio de$H$como una mezcla de estados simétricos y antisimétricos,

$$H(\alpha|\psi_\mathrm{S}\rangle+\beta|\psi_\mathrm{A}\rangle)=E(\alpha|\psi_\mathrm{S}\rangle+\beta|\psi_\mathrm{A}\rangle),$$ entonces, multiplicándolo por$\langle\psi_\mathrm{S}|$o$\langle\psi_\mathrm{A}|$de la izquierda, obtenemos: $$\alpha(E-\langle\psi_\mathrm{S}|H|\psi_\mathrm{S}\rangle)=0,\qquad\beta(E-\langle\psi_\mathrm{A}|H|\psi_\mathrm{A}\rangle)=0.$$ Entonces$\alpha$y$\beta$no puede ser simultáneamente distinto de cero si las energías de los estados simétricos y antisimétricos son diferentes:$\langle\psi_\mathrm{S}|H|\psi_\mathrm{S}\rangle\neq\langle\psi_\mathrm{A}|H|\psi_\mathrm{A}\rangle$. Para cualquier sistema realista de partículas que interactúan es el caso.

Por lo tanto, los estados propios del sistema de muchas partículas que interactúan son simétricos o antisimétricos.

2) Si$|\psi(t)\rangle$es simétrico/antisimétrico en$t=0$, entonces, después de la evolución temporal de Schrödinger

$$i\hbar\frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}=H|\psi\rangle,$$ $|\psi(t)\rangle$permanecerá simétrico/antisimétrico en$t>0$.

Por lo tanto, debemos elegir, según razones físicas, en qué sector del espacio de Hilbert (simétrico o antisimétrico) estamos trabajando con el sistema de partículas de un tipo determinado. No habrá ningún problema físicamente realista (tanto estacionario$-$cuando encuentre los estados propios hamiltonianos, o no estacionarios$-$cuando calcula la evolución del tiempo) donde necesitará mezclar estados simétricos y antisimétricos.

Actualización: Los estados simétricos y antisimétricos tienen energías diferentes, al menos, por dos razones. Primero, los fermiones necesitan llenar los estados de una sola partícula con energías cada vez más altas hasta la energía de Fermi debido al principio de exclusión de Pauli, mientras que los bosones pueden condensarse en un solo estado de menor energía. En segundo lugar, la energía de intercambio del sistema de muchas partículas, que aparece en la aproximación de Hartree-Fock , es positiva para los bosones y negativa para los fermiones. Entonces, es razonable suponer que las energías de los estados de tierra y excitación de un hamiltoniano son diferentes en sectores simétricos y antisimétricos (excepto algunas raras coincidencias aleatorias), aunque no conozco la prueba de esta afirmación. Por lo tanto, el espectro combinado$\{E_n,P_n=\pm1\}$de$H$y$P$es no degenerado, y cada estado propio de$H$es automáticamente un estado propio de$P$y viceversa.

Dejar$|\psi\rangle$ser un estado propio de$\hat H$. Desde$[\hat P, \hat H]=0$, el estado$|\psi\rangle$es también un estado propio de$\hat P$, es decir,

$$\hat P |\psi\rangle = \lambda|\psi\rangle,$$ dónde$\lambda$es cualquiera$+1$o$-1$. Por lo tanto todo ese$|\psi\rangle$que son estados propios de$\hat H$, son simétricos ($\lambda=1$) o antisimétrico ($\lambda=-1$).

Por lo tanto, la conmutación nula del hamiltoniano$H$con el operador de cambio$P$, es decir,$\left[P, H\right] = 0$ conduce a la existencia de estados propios de energía simétricos o antisimétricos$-$como afirman los Griffiths.

Sin embargo, Griffiths no afirmó lo contrario. $-$la existencia de estados propios de energía simétricos y antisimétricos garantiza la desaparición de la conmutación de$P$y$H$.