¿Qué sucede con el argumento de Pauli (que dice que no hay operador de tiempo) cuando se aplica al operador XXX para algunos sistemas simples?

No estoy seguro de cuál es precisamente el "argumento de Pauli" porque se refiere a las páginas de la primera edición de los Principios de la mecánica cuántica de Dirac que no contienen nada de relevancia evidente en mi cuarta edición, pero lo más común es decir que es el la limitación de la energía desde abajo que prohíbe a un ingenuo operador de tiempo, no la discreción.

Sin embargo, el escenario de "partícula en un anillo" que propone no es tan simple: el espacio de funciones de onda en un círculo puede escribirse ingenuamente como$H = \{f\in L^2([0,2\pi],\mathrm{d}\phi)\mid f(0) = f(2\pi)\}$, es decir, todas las posibles funciones integrables al cuadrado con condiciones de contorno periódicas. Multiplicando por el "operador de posición"$\phi$, debes observar que$\phi$no conserva la condición de frontera :$(\phi f)(0) = (\phi f)(2\pi)$si y solo si$f(0) = 0 = f(2\pi)$. Entonces, o tiene la restricción antinatural de las funciones de onda que se desvanecen en un punto particular, o debe relajar las condiciones de contorno para una función de onda general (ninguna de estas tiene un significado físico directo porque el valor en el punto único no cambia la densidad de probabilidad). Para obtener más información sobre dónde es válida exactamente la relación de conmutación, consulte esta respuesta mía .

El problema aquí es que las propias relaciones de conmutación implican operadores ilimitados y son bastante patológicas. Si solo se cumplen en un subconjunto del espacio que no es el mismo que el dominio denso sobre el que se definen los operadores, lo que puede suceder como en el caso de la partícula en el anillo, entonces el teorema de Stone-von Neumann no se cumple y es posible construir todo tipo de contraejemplos.

La forma formalmente correcta de enunciar el teorema de Pauli es entonces esta:

Si el hamiltoniano$H$está acotado desde abajo o tiene una parte discreta del espectro, entonces no hay operador$T$tal que las relaciones de Weyl

$$U(t)V(e) = \exp(-\mathrm{i}te)V(e)U(t)$$ para $U(t) = \exp(\mathrm{i}Ht),S(e) = \exp(\mathrm{i}Te)$mantener en todas partes.

Esto se sigue directamente del teorema de Stone-von Neumann, ya que los operadores unitariamente equivalentes necesariamente tienen el mismo espectro, y la representación canónica de las relaciones de Weyl tiene operadores continuos e ilimitados. Significa que, si bien es posible que pueda construir la versión infinitesimal del operador de tiempo en algunos casos en alguna parte del espacio de Hilbert, no puede obtener la versión "dócil" del CCR, las relaciones de Weyl, a partir de ellos. Para ver que las relaciones de Weyl son realmente físicamente necesarias para que algo sea el "operador de tiempo" adecuado, tenga en cuenta que$U(t)V(e)U(-t) = \exp(-\mathrm{i}te)V(e)$es realmente solo la declaración de que el operador de traducción de tiempo$U(-t)$cambia el valor del tiempo observable por$t$.

Las relaciones de conmutación entre los operadores de posición y momento, en mecánica cuántica, son válidas solo cuando las acciones de cualquiera de los dos operadores están contenidas en el dominio del restante. En particular tenemos:

Además, las reglas de conmutación entre tiempo y energía no son reglas de conmutación reales, sino declaraciones indicativas que solo se cumplen en casos particulares.