Implicación de la regla de Born en el principio de superposición

FONDO

La regla de Born cuantifica el patrón de interferencia de una sola partícula cuántica que pasa por dos caminos posibles A y B como

PAG = | A | 2 + | B | 2 + ⟨ A | B ⟩ + ⟨ B | A ⟩ .

La interpretación estándar de los términos cruzados ⟨ A | B ⟩ y ⟨ B | A ⟩ es que representan la interferencia cuántica, es decir, la corrección cuántica a la clásica sumatoria de probabilidades | A | 2 + | B | 2 .

He leído mucho sobre la regla de Born y estoy particularmente interesado en el trabajo de Sorkin [Mod. física Letón. A 9, 3119 (1994)] , que afirma que no se permite ninguna interferencia de tercer orden (o superior) en la mecánica cuántica. Es decir, considere la deslocalización de tres modos de una sola partícula en los caminos A, B y C. En este caso, el patrón de interferencia está dado por

PAG = | A | 2 + | B | 2 + | C | 2 + ⟨ A | B ⟩ + ⟨ B | A ⟩ + ⟨ A | C ⟩ + ⟨ C | A ⟩ + ⟨ B | C ⟩ + ⟨ C | B ⟩ .

Aquí nuevamente, vemos los términos cruzados por pares entre las diferentes rutas, pero no hay términos de orden superior que vinculen A, B y C a la vez. La ausencia de tales términos de orden superior fue afirmada experimentalmente por Sinha et al. [Ciencia 329, 418 (2010)] . Desde entonces, muchos artículos han llegado a la misma conclusión de que la interferencia cuántica ocurre en pares de posibilidades.

PREGUNTA

Según tengo entendido, la interferencia cuántica es la consecuencia directa de la superposición cuántica (es decir, coherente). (Por favor, corrija esta declaración si cree que es inexacta). El vacío conceptual que estoy tratando de llenar es, por lo tanto, el siguiente: ¿La restricción de la interferencia por pares implica otra restricción sobre la naturaleza de la superposición? Es decir, son superposiciones trimodales sobre A, B y C, en realidad solo una mezcla de supreposiciones por pares que vinculan solo, en cualquier experimento coherente dado de un solo disparo, los modos A y B, o A y C , o B y C? Para usar una analogía antropomórfica, ¿el fotón realmente se "divide" en tres caminos o solo elige dos caminos a la vez e ignora por completo el tercero? (Por supuesto, no podemos decir cuáles dos eligió).

La respuesta de @BenCrowell responde perfectamente a su pregunta, por lo que no agregaría una respuesta, pero me gustaría enfatizar un punto. El punto es aceptar seriamente la regla de Born con respeto como un axioma de la mecánica cuántica y no confundirla con un axioma separado de la mecánica cuántica que es el principio de superposición.
El hecho de que no haya términos de interferencia "trimodales" en la probabilidad es una consecuencia directa de que la regla de Born sea "cuadrática". No implica en ningún sentido que no haya superposiciones "trimodales". Por supuesto, hay superposiciones coherentes de tantos estados propios como uno quiera. Por la mera linealidad del principio de superposición, cualquier superposición de dos estados propios es automáticamente una superposición de tres estados propios de un operador diferente, y así sucesivamente.
¿Cómo sabemos que ese es el caso? El experimento de Sinha mostró (hasta cierto punto) que la interferencia fotónica de cualquier modalidad múltiple se puede descomponer en una combinación lineal de interferencias bimodales. Eso significa que para cualquier experimento coherente de disparo único, un solo fotón podría deslocalizarse en solo dos modos (de varios) y, sin embargo, se producirían exactamente las mismas estadísticas.

Respuestas (2)

¿La restricción de la interferencia por pares implica otra restricción sobre la naturaleza de la superposición?

No. No es una restricción sobre los estados, es una restricción sobre las reglas posibles sobre cómo calcular las probabilidades. La restricción es consistente con la regla de Born (mecánica cuántica estándar) o con la teoría de probabilidad clásica (probabilidades siempre aditivas).

Es decir, son superposiciones trimodales sobre A, B y C, en realidad solo una mezcla de supreposiciones por pares que vinculan solo, en cualquier experimento coherente dado de un solo disparo, los modos A y B, o A y C, o B y C?

Superposición, suma y mezcla aquí significan lo mismo, y no tiene sentido hablar de una restricción en los tipos de sumas diciendo que tienen que ser un cierto tipo de suma de sumas. Por ejemplo, puedo escribir F + gramo + h = ( F + gramo / 2 ) + ( gramo / 2 + h ) , pero esto es posible para cualquier combinación lineal de F , gramo , y h .

Para usar una analogía antropomórfica, ¿el fotón realmente se "divide" en tres caminos o solo elige dos caminos a la vez e ignora por completo el tercero? (Por supuesto, no podemos decir cuáles dos eligió).

Bueno, esto podría atascarse en palabras como "realmente" y "elegir", que claramente no podemos definir aquí, pero básicamente no, Sorkin está hablando de generalizar la mecánica cuántica modificando la medida de probabilidad, no la evolución del tiempo. La evolución temporal según la ecuación de Schrödinger es tal que el fotón pasa por las tres rendijas. (Si tuviéramos que generalizar la medida de probabilidad y quisiéramos retener la conservación de la probabilidad, tendríamos que modificar la dinámica de alguna manera, pero Sorkin no intenta eso).

No creo que el hecho de que la regla de Born se expanda en una suma de términos de interferencia por pares sea realmente tan misterioso. Esto se debe simplemente a que las probabilidades en la mecánica cuántica son proporcionales al cuadrado de una función de onda, y cuando elevas al cuadrado una suma, obtienes una suma de términos de segundo orden. Me parece mucho más misterioso cómo se podría obtener una versión sensata de tercer orden de la regla de Born. Por ejemplo, parece que las fases se volverían observables, lo que crea todo tipo de locuras.

¿Por qué consideras que superposición, adición y mezcla aquí significan lo mismo ? Este es el quid del problema: ¿Qué evidencia tenemos de que en un experimento coherente de un solo disparo, no estamos tratando con mezclas de superposiciones por pares ?

Pregunta interesante, y QM es un tema interesante. ¡La falta de evidencia o apoyo para un término de interferencia trimodal es realmente intrigante! Permítanme usar un corolario de física de partículas: si algo ocurre, debe haber alguna ley física que lo permita; si algo nunca ocurre, debe haber alguna ley física que lo prohíba.

Sé que parece simple y quizás demasiado obvio, pero ha sido la forma en que se han descubierto y codificado muchas cosas, como la conservación del número de leptones.

En su pregunta, parece que no hay evidencia para respaldar la interferencia trimodal, por lo que uno podría concluir que existe un fuerte respaldo para una ley física que lo prohíbe.

Ahora seamos más específicos: la mecánica cuántica es probabilística, y mucha gente usa fórmulas matemáticas especiales creadas expresamente con el propósito de describirla (la función delta es un gran ejemplo). Usamos esta matemática porque nos permite describir algo sobre el sistema, aunque no comprendamos completamente las causas subyacentes . Es un error común pensar que las partículas/fotones/lo que sea están en dos estados a la vez. Ellos no están. No entendemos en qué estado se encuentra un fotón hasta que lo medimos y, según nuestra comprensión actual, es completamente probabilístico. Se han creado matemáticas muy inteligentes para describir este comportamiento, y son matemáticas útiles porque nos ayudan a construir sobre nuestra comprensión limitada. Pero no creas que un fotón es en realidaden 2 (o 3) estados a la vez hasta que se mide. Simplemente ignoramos cuál, hasta que se realiza una medición.

Si un fotón puede tomar el camino A, B o C, y tiene alguna probabilidad para cada uno, y la interferencia nunca es trimodal, eso es extraño, ¿verdad? Pero es una pista de algo más profundo y más fundamental. ¿Por qué no 3-modal? Bueno, tal vez el hecho de que todos los elementos de interferencia se muestren en pares, pero cada ruta se represente en cantidades iguales, sea la respuesta. O tal vez tenga algo que ver con el hecho de que la fuerza electromagnética es puramente polar (ya sea positiva o negativa; no hay un tercer modo electromagnético).

No he investigado este problema específicamente, pero puedo decirles que mi instinto se encuentra en las leyes fundamentales de la fuerza EM, o QED. Esperemos que esta respuesta le brinde un poco de claridad, o al menos algo para reflexionar e investigar más. ¡QM y QED todavía necesitan más mentes que hagan preguntas más interesantes! :)

Solo un comentario: No hay evidencia de que la interpretación de la superposición como la existencia de una partícula en varios modos a la vez sea un error. Si realmente fuera un error, ¿cómo podría explicar las mediciones sin interacción? De todos modos, mi objetivo no es argumentar a favor de ninguna interpretación en particular, Bohmiana, Copenhague o cualquier otra. Más bien, es encontrar el "eslabón perdido" entre el hecho de que la regla de Born excluye la interferencia de orden superior y la naturaleza misma de la superposición cuántica, que hasta donde sabemos, no está sujeta a ninguna limitación en términos de número de modos.
Bueno, este es mi punto: la partícula no está en múltiples modos a la vez, las matemáticas que usamos para describir su resultado solo se ven de esa manera. Decir que está simultáneamente en múltiples modos es malinterpretar las matemáticas. Usamos las matemáticas para predecir resultados en función de la probabilidad, pero no es un descriptor de ruta como, por ejemplo, una función de posición a lo largo del tiempo. Es puramente matemático, no físico, hasta que obtienes un resultado.
¿Qué evidencia tenemos de que la partícula no está en múltiples modos a la vez? ¿Cómo se pueden explicar las mediciones libres de interacción si no hubiera alguna propiedad de la partícula que impregna dos modos a la vez? (Nota: esto nos lleva por la tangente del OP. Mi objetivo realmente no era debatir las interpretaciones de Bohmian vs. Copenhagen. Pero ya que estamos en eso, continúe y explique por qué concluiría que la partícula solo atraviesa un solo modo a la vez.)
" Pero no piense que un fotón está realmente en 2 (o 3) estados a la vez hasta que se mide. Simplemente ignoramos cuál hasta que se realiza una medición ". Esto es engañoso. En realidad está en una superposición de 2 (o 3 ) indica a la vez hasta que se mide. El estado colapsa en uno de los estados propios del operador que medimos, pero en realidad estaba en una superposición de los estados propios antes de que lo midiéramos. Su punto de vista, que aquí se opone a la ciencia, no puede soportar las pruebas experimentales ni siquiera del más simple de los experimentos, como el experimento de la doble rendija.
Además, el vínculo que hizo con los estados de polarización de un fotón es pura numerología. La pregunta que publicó OP no tiene nada que ver con el electromagnetismo (clásico o cuántico). El experimento de doble/triple rendija es un experimento canónico que funciona con todo tipo de objetos, incluidos objetos con tantos estados de polarización como se desee.
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