¿Por qué la mecánica cuántica?

Llego tarde a esta fiesta aquí, pero tal vez pueda anunciar algo bastante parecido a una derivación de la mecánica cuántica al emparejar la mecánica clásica con su contexto matemático natural, es decir, con la teoría de Lie . Todavía no he tenido la oportunidad de probar lo siguiente en estudiantes de primer año, pero estoy bastante seguro de que con solo un poco más de orientación pedagógica, según sea necesario, lo siguiente debería ser una motivación bastante satisfactoria para cualquier estudiante con un poco de inclinación matemática/física teórica.

Para obtener más información sobre las siguientes líneas, consulte nLab:quantization .

La cuantización, por supuesto, estuvo y está motivada por el experimento, por lo tanto, por la observación del universo observable: sucede que la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos dan cuenta correctamente de las observaciones experimentales, donde la mecánica clásica y la teoría clásica de campos no dan respuestas o dan respuestas incorrectas. Un ejemplo históricamente importante es el fenómeno denominado “catástrofe ultravioleta”, una paradoja predicha por la mecánica estadística clásica que no se observa en la naturaleza y que es corregida por la mecánica cuántica.

Pero uno también puede preguntarse, independientemente de la entrada experimental, si hay buenas razones y motivaciones matemáticas formales para pasar de la mecánica clásica a la mecánica cuántica. ¿Podría uno haber llegado a la mecánica cuántica simplemente reflexionando sobre el formalismo matemático de la mecánica clásica? (Por lo tanto, más precisamente: ¿existe una Teoría del Campo Cuántico Sintético natural?)

A continuación se expone un argumento en este sentido. Funcionará para lectores con experiencia en matemáticas modernas, especialmente en la teoría de Lie, y con una comprensión de la formalización de la mecánica clásica/precuántica en términos de geometría simpléctica.

Entonces, para recordar brevemente, un sistema de mecánica clásica/mecánica precuántica es un espacio de fase, formalizado como una variedad simpléctica$(X,ω)$. Una variedad simpléctica es en particular una variedad de Poisson, lo que significa que el álgebra de funciones en el espacio de fases$X$, por lo tanto, el álgebra de los observables clásicos, está canónicamente equipado con un corchete de Lie compatible: el corchete de Poisson. Este corchete de mentira es lo que controla la dinámica en la mecánica clásica. por ejemplo si$H\in C^{∞}(X)$es la función en el espacio de fase que se interpreta asignando a cada configuración del sistema su energía – la función hamiltoniana – luego el corchete de Poisson con$H$produce la evolución temporal infinitesimal del sistema: la ecuación diferencial famosa como ecuaciones de Hamilton.

A tener en cuenta aquí es la naturaleza infinitesimal del corchete de Poisson. Generalmente, siempre que uno tiene un álgebra de Lie$\mathfrak{g}$, entonces debe considerarse como la aproximación infinitesimal a un objeto definido globalmente, el grupo de Lie correspondiente (o grupo generalmente suave)$G$. Uno también dice que$G$es una mentira integración de$\mathfrak{g}$y eso$\mathfrak{g}$es la diferenciación de Lie de$G$.

Por lo tanto, una pregunta natural es: dado que los observables en la mecánica clásica forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson, ¿cuál es entonces el grupo de Lie correspondiente?

La respuesta a esto es, por supuesto, "bien conocida" en la literatura, en el sentido de que hay monografías relevantes que establecen la respuesta. Pero, tal vez sorprendentemente, la respuesta a esta pregunta no es (en el momento de escribir este artículo) un hecho ampliamente publicitado que habría encontrado su camino en los libros de texto educativos básicos. La respuesta es que este grupo de Lie que integra el corchete de Poisson es el "grupo de cuantomorfismo", un objeto que conduce sin problemas a la mecánica cuántica del sistema.

Antes de decir esto con más detalle, necesitamos un breve aparte técnico: por supuesto, la integración de Lie no es del todo única. Puede haber diferentes objetos de grupo de Lie globales con la misma álgebra de Lie.

El ejemplo más simple de esto ya es el de importancia central para el tema de la cuantización, a saber, la integración de Lie del álgebra de Lie de la línea abeliana.$\mathbb{R}$. Esto tiene esencialmente dos grupos de Lie diferentes asociados con él: el grupo de traducción simplemente conectado, que es solo$\mathbb{R}$de nuevo, dotado de su estructura de grupo abeliano aditivo canónico, y el cociente discreto de éste por el grupo de los enteros, que es el grupo circular

Observe que es la naturaleza discreta y, por lo tanto, "cuantificada" de los números enteros lo que hace que la línea real se convierta aquí en un círculo. Esto no es del todo una coincidencia de terminología, pero se puede rastrear hasta estar en el corazón de lo que se "cuantifica" sobre la mecánica cuántica.

Es decir, se encuentra que el álgebra de Lie del corchete de Poisson$\mathfrak{poiss}(X,ω)$de los observables clásicos en el espacio de fases es (para X una variedad conexa) una extensión del álgebra de Lie del álgebra de Lie$\mathfrak{ham}(X)$de campos vectoriales hamiltonianos en$X$por la línea Lie álgebra:

Esto significa que bajo la integración de Lie, el corchete de Poisson se convierte en una extensión central del grupo de simplectomorfismos hamiltonianos de$(X,ω)$. Y o bien es la extensión no compacta bastante trivial de$\mathbb{R}$, o es la interesante prolongación central del grupo circular$U(1)$. Para que exista esta integración de Lie no trivial,$(X,ω)$necesita satisfacer una condición de cuantificación que dice que admite un paquete de líneas precuántico. Si es así, entonces esto$U(1)$-extensión central del grupo$Ham(X,\omega)$de simplectomorfismos hamiltonianos existe y se llama... el grupo de cuantomorfismos$QuantMorph(X,\omega)$:

Si bien es importante, por alguna razón este grupo no es muy conocido. Lo cual es sorprendente, porque hay un pequeño subgrupo que es famoso en la mecánica cuántica: el grupo de Heisenberg.

Más exactamente, cada vez que$(X,\omega)$sí mismo tiene una estructura de grupo compatible, en particular si$(X,\omega)$es solo un espacio vectorial simpléctico (considerado como un grupo bajo la suma de vectores), entonces podemos preguntar por el subgrupo del grupo de quantomorphism que cubre la acción (izquierda) del espacio de fase$(X,\omega)$en sí mismo. Este es el grupo de Heisenberg correspondiente.$Heis(X,\omega)$, que a su vez es un$U(1)$-extensión central del grupo$X$sí mismo:

En este punto, vale la pena hacer una pausa por un segundo y notar cómo el sello distintivo de la mecánica cuántica ha aparecido como de la nada al aplicar la integración de Lie a las estructuras algebraicas de Lie en la mecánica clásica:

si pensamos en Lie integrando$\mathbb{R}$al interesante grupo circular$U(1)$en lugar de al grupo de traducción poco interesante$\mathbb{R}$, entonces el nombre de su elemento de base canónica 1∈ℝ es canónicamente ”i”, la unidad imaginaria. Por lo tanto, a menudo se escribe la extensión central anterior de la siguiente manera:

para amplificar esto. Pero ahora considere el caso especial simple donde$(X,\omega)=(\mathbb{R}^{2},dp∧dq)$es el espacio vectorial simpléctico bidimensional que es, por ejemplo, el espacio de fase de la partícula que se propaga en la línea. Luego, un conjunto canónico de generadores para el correspondiente álgebra de Lie con corchetes de Poisson consta de las funciones lineales p y q de la fama de los libros de texto de mecánica clásica, junto con la función constante. Bajo la identificación teórica de Lie anterior, esta función constante es el elemento base canónico de$i\mathbb{R}$, por lo tanto puramente Lie teóricamente debe llamarse "i".

Con esta notación entonces el paréntesis de Poisson, escrito en la forma que hace manifiesta su integración de Lie, de hecho se lee

Dado que la elección del elemento base de$i\mathbb{R}$es arbitrario, podemos reescalar aquí la i por cualquier número real que no desaparezca sin cambiar esta afirmación. Si escribimos ”ℏ” para este elemento, entonces el corchete de Poisson dice

Esta es, por supuesto, la ecuación distintiva de la física cuántica, si interpretamos aquí ℏ como la constante de Planck. Vemos que surge aquí nada más que considerando la integración de mentira no trivial (lo interesante, lo no simplemente conectado) del soporte de Poisson.

Este es solo el comienzo de la historia de la cuantización, naturalmente entendida y de hecho "derivada" de la aplicación de la teoría de Lie a la mecánica clásica. A partir de aquí la historia continúa. Se llama la historia de la cuantización geométrica. Cerramos esta sección de motivación aquí con una breve perspectiva.

El grupo de cuantomorfismo que es la integración de Lie no trivial del corchete de Poisson se construye naturalmente de la siguiente manera: dada la forma simpléctica$ω$, es natural preguntarse si es la forma 2 de curvatura de un$U(1)$-conexión principal$∇$en paquete de línea complejo$L$sobre$X$(Esto es directamente análogo a la cuantización de carga de Dirac cuando, en lugar de una forma simpléctica en el espacio de fase, consideramos la forma de fuerza de campo 2 del electromagnetismo en el espacio-tiempo). Si es así, tal conexión$(L,∇)$se llama haz de líneas precuántico del espacio de fase$(X,ω)$. El grupo de cuantomorfismos es simplemente el grupo de automorfismos del haz de líneas precuántico, que cubre los difeomorfismos del espacio de fase (los simplectomorfismos hamiltonianos mencionados anteriormente).

Como tal, el grupo de cuantomorfismo actúa naturalmente en el espacio de las secciones de$L$. Tal sección es como una función de onda, en lugar de depender de todo el espacio de fase, en lugar de solo en las "coordenadas canónicas". Por razones matemáticas puramente abstractas (que no discutiremos aquí, pero veamos en cuantización motívica para más) es natural elegir una "polarización" del espacio de fase en coordenadas canónicas y momentos canónicos y considerar solo esas secciones de la línea precuántica paquete que dependen sólo de la primera. Estas son las funciones de onda reales de la mecánica cuántica, de ahí los estados cuánticos. Y el subgrupo del grupo de cuantomorfismos que conserva estas secciones polarizadas es el grupo de observables cuánticos exponenciados. Por ejemplo, en el caso simple mencionado antes donde$(X,ω)$es el espacio vectorial simpléctico bidimensional, este es el grupo de Heisenberg con su famosa acción por operadores de multiplicación y diferenciación en el espacio de funciones complejas en la recta real.

Para obtener más información en este sentido, consulte nLab:quantization .

¿¿Por qué intentaría motivar una teoría física sin apelar a los resultados experimentales? La motivación de la mecánica cuántica es que explica los resultados experimentales. Es obvio que elegiría una imagen más simple e intuitiva que la mecánica cuántica si no estuviera interesado en predecir nada.

Si está dispuesto a permitir una entrada física mínima, entonces qué tal esto: tome el principio de incertidumbre como un postulado. Entonces sabes que el efecto en un sistema de hacer mediciones$A$primero, luego la medida$B$, es diferente de hacer$B$primero luego$A$. Eso se puede escribir simbólicamente como$AB \neq BA$o incluso$[A,B] \neq 0$. ¿Qué tipo de objetos no obedecen a la multiplicación conmutativa? ¡Operadores lineales que actúan sobre vectores! De ello se deduce que los observables son operadores y los "sistemas" son de alguna manera vectores. La noción de "estado" es un poco más sofisticada y realmente no sigue sin referencia a los resultados de la medición (que en última instancia necesita la regla de Born). También podría argumentar que este efecto debe desaparecer en el límite clásico, por lo que debe tener$[A,B] \sim \hbar$, dónde$\hbar$es un número indeterminado todavía (y nunca será, si se niega a hacer experimentos) que debe ser pequeño en comparación con las unidades cotidianas. Creo que esto es similar al razonamiento original detrás de la formulación matricial de QM de Heisenberg.

El problema es que esto no es física, no sabes predecir nada sin la regla de Born. Y hasta donde yo sé, no hay una derivación teórica de la regla de Born, ¡se justifica experimentalmente!

Si desea un punto de vista básico sobre por qué QM en lugar de otra cosa, intente buscar teorías probabilísticas generalizadas, por ejemplo, este documento . Pero le advierto que estos no proporcionan una justificación completa, simple ni trivial para los postulados de QM.

Deberías usar la historia de la física para hacerles preguntas donde falla la física clásica. Por ejemplo, puede decirles el resultado del experimento de Rutherford y preguntar: si un electrón está orbitando alrededor del núcleo, significa que una carga está acelerando. Entonces, los electrones deberían liberar energía electromagnética. Si ese es el caso, los electrones perderían su energía para colapsar en Núcleo, lo que dejaría de existir el átomo en una fracción de segundo (puede decirles que calculen). Pero, como sabemos, los átomos han sobrevivido miles de millones de años. ¿Cómo? ¿Dónde está la trampa?

Aunque hay muchas buenas respuestas aquí, creo que todavía puedo contribuir con algo que responda una pequeña parte de su pregunta.

Hay una razón para buscar una teoría más allá de la física clásica que sea puramente teórica y esta es la catástrofe UV . Según la teoría clásica de la luz, un cuerpo negro ideal en equilibrio térmico emitirá una radiación de potencia infinita. Este es un problema teórico fundamental, y no hay necesidad de apelar a ningún resultado experimental para entenderlo, una teoría que predice que la potencia emitida es infinita es incorrecta .

La cuantización de la luz resuelve el problema, e históricamente esto desempeñó un papel en el desarrollo de la mecánica cuántica.

Por supuesto, esto no apunta a ninguno de los postulados modernos de la mecánica cuántica que busca justificar, pero creo que aún es bueno usar la catástrofe ultravioleta como una de las motivaciones para buscar una teoría más allá de la física clásica en el primer lugar, especialmente si desea apelar lo menos necesario a los resultados experimentales.

Si estuviera diseñando un curso de introducción a la física cuántica para estudiantes universitarios de física, consideraría seriamente comenzar con las violaciones Bell-GHZ observadas. Algo similar al enfoque de David Mermin . Si hay algo que deja en claro que ninguna forma de física clásica puede proporcionar la ley más profunda de la naturaleza, es eso. (Esto hace referencia a hechos experimentales, aunque más de naturaleza gedanken. Como otros han comentado, algún vínculo con los experimentos es, y debería ser, inevitable).

Todas las partes clave de la mecánica cuántica se pueden encontrar en la física clásica.

1) En mecánica estadística, el sistema también se describe mediante una función de distribución. Sin coordenadas definidas, sin momentos definidos.

2) Hamilton hizo su formalismo para la mecánica clásica. Sus ideas estaban bastante en línea con las ideas que se introdujeron en la mecánica cuántica moderna mucho antes de cualquier experimento: trató de hacer la física lo más geométrica posible.

3) A partir de las álgebras de Lie, la gente sabía que el operador de traducción tiene algo que ver con la derivada. A partir de la conservación del impulso, la gente sabía que las traducciones tienen algo que ver con el impulso. No era tan extraño asociar el impulso con la derivada.

Ahora debe mezclar todo: fusionar la mecánica estadística con el formalismo hamiltoniano y agregar el ingrediente clave que era obvio para los radiofísicos: que no puede tener una señal corta (es decir, localizada) con un espectro estrecho.

Voila, tienes mecánica cuántica.

En principio, para sus propósitos, el enfoque de Feynman sobre la mecánica cuántica puede ser más "claro". Se encontró mucho después de los otros dos enfoques, y es mucho menos productivo para los problemas simples que la gente suele considerar mientras estudia. Es por eso que no es tan popular para empezar. Sin embargo, podría ser más simple desde el punto de vista filosófico. Y todos sabemos que es equivalente a los otros enfoques.

Como un aparte inicial, no hay nada exclusivamente 'cuántico' en los operadores que no conmutan o formulando la mecánica en un espacio de Hilbert como lo demuestra la mecánica de Koopman-von Neumann, y no hay nada exclusivamente 'clásico' en una representación de la mecánica en coordenadas de espacio de fase como se muestra por la formulación de la teoría cuántica de Groenewold y Moyal.

Por supuesto, sin embargo, existe una diferencia fundamental entre las teorías cuántica y clásica. Hay muchas maneras de intentar destilar esta diferencia, ya sea que se vea como no localidad, incertidumbre o el problema de la medición, la mejor manera de aislar lo que los distingue que he escuchado es esta:

La mecánica cuántica se trata de cómo interactúan la fase de probabilidad y la amplitud de probabilidad. Esto es lo que falta fundamentalmente en las formulaciones espaciales de Hilbert de la mecánica clásica, donde las ecuaciones de evolución de fase y amplitud están totalmente desacopladas. Es esta interacción fase-amplitud la que nos da el comportamiento onda-partícula, la difracción de electrones en el experimento de las dos rendijas y, por lo tanto, una motivación fácil para (y probablemente la ruta de entrada más común) la mecánica cuántica. Esta interacción fase-amplitud también es fundamental para comprender las variables canónicamente conjugadas y el problema de la incertidumbre.

Creo que si se adoptara este enfoque, la necesidad de una teoría física diferente puede justificarse inicialmente más fácilmente mediante la interferencia de una sola partícula, que luego conduce a los puntos mencionados anteriormente.

Este es un comentario relevante tardío para el problema de enseñanza que tiene (pero no responde; intenté comentar pero se estaba volviendo demasiado grande).

Algo que podría mencionar en su clase es la teoría de los sistemas de control modernos tal como se enseña a los estudiantes de ingeniería. Llegué a QM después de haber estudiado sistemas de control y haberlo practicado en mi trabajo durante varios años y hay una sensación natural de QM después de esto. Ahora me pregunto si QM podría no haber influido en la formulación de la teoría de los sistemas de control. Pero básicamente uno tiene un espacio de estado: el espacio lineal de los datos mínimos que uno necesita para definir de manera única el futuro del sistema, una ecuación de evolución similar a Schrödinger y observables que operan en el estado y, por lo tanto, recopilan datos para el controlador de retroalimentación. Sin embargo, la interpretación de los observables es radicalmente diferente de cómo se hace en QM. Pero "estado evolutivo + medidas" es el resumen y aun así, Las incertidumbres en los observables conducen a campos completos no triviales de sistemas de control estocástico y sistemas de control robustos (aquellos que funcionan incluso a pesar de las incertidumbres en los modelos matemáticos utilizados). El punto de vista de la ingeniería también es muy experimental: busca modelar su sistema con precisión, pero deliberadamente no le importa un bledo.cómo surge ese modelo a menos que la física pueda ayudarlo a ajustar un modelo, pero a menudo los problemas están tan llenos de incertidumbre que simplemente no ayuda en absoluto probar la física profundamente y, de hecho, la teoría de los sistemas de control se trata de lidiar con la incertidumbre, reaccionar ante ella y dirigiendo su sistema en un curso seguro a pesar de que fuerzas externas incontrolables e inciertas lo golpean sin cesar. Incluso hay matices del principio de incertidumbre aquí: si su modelo de estado es incierto y está siendo estimado ( por ejemplo , por un filtro de Kalman), lo que hace su controlador perturbará el sistema que está tratando de medir, aunque, por supuesto, este es el efecto del observador .y no el principio de Heisenberg, de hecho uno se encuentra tratando de minimizar el producto de dos incertidumbres. Está luchando con el compromiso entre la necesidad de actuar y la necesidad de medir.

Esta historia no motivará completamente el tema de la manera que usted desea, pero aun así sería interesante mostrar que hay un grupo completo de ingenieros y matemáticos que piensan de esta manera y, de hecho, lo encuentran muy natural y sin misterio, incluso cuando lo aprenden por primera vez. . Creo que un punto crucial aquí es que nadie asusta a los estudiantes de teoría del control antes de que comiencen a hablar sobre el fracaso catastrófico de la teoría, la necesidad de reinventar por completo un campo de conocimiento y las luchas intelectuales que derribaron a las mejores mentes del mundo durante décadas. Por supuesto, en física tienes que enseñar por qué la gente tomó este camino, pero también es importante enfatizar que estas mismas grandes mentes que quedaron anonadadas por el tema nos allanaron el camino., de modo que ahora nos paramos sobre sus hombros y realmente podemos ver mejor aunque estemos lejos de sus iguales intelectuales.

Según tengo entendido, está solicitando un enfoque minimalista de la mecánica cuántica que motive su estudio con poca referencia a los experimentos.

El malo. Que yo sepa, no existe un solo experimento o concepto teórico que pueda motivar a sus alumnos sobre la necesidad de introducir Dirackets.$|\Psi\rangle$, operadores, espacios de Hilbert, la ecuación de Schrödinger... todo a la vez. Hay dos razones para esto y ambas están relacionadas. Primero, la función de onda ordinaria o formulación de Dirac de la mecánica cuántica es demasiado diferente de la mecánica clásica. En segundo lugar, la formulación ordinaria fue desarrollada por partes por muchos autores diferentes que intentaron explicar los resultados de diferentes experimentos --muchos autores ganaron un premio Nobel por el desarrollo de la mecánica cuántica--. Esto explica por qué "desde hace un par de años", las únicas respuestas que ha encontrado son "incompletas, no del todo satisfactorias".

El bueno. Creo que uno puede satisfacer principalmente sus requisitos utilizando la formulación moderna de la mecánica cuántica de Wigner & Moyal, porque esta formulación evita kets, operadores, espacios de Hilbert, la ecuación de Schrödinger... En esta formulación moderna, la relación entre la clásica (izquierda ) y los axiomas de la mecánica cuántica (derecha) son

dónde$\star$es el producto estrella de Moyal,$\rho^\mathrm{W}$la distribución de Wigner y$\{ , \}_\mathrm{MB}$el soporte de Moyal. Las funciones$A(p,x)$son los mismos que en la mecánica clásica. Un ejemplo de la primera ecuación cuántica es$H \star \rho_E^\mathrm{W} = E \rho_E^\mathrm{W}$que da los valores propios de la energía.

Ahora la segunda parte de tu pregunta. ¿Cuál es la motivación mínima para la introducción de las expresiones cuánticas de la derecha? Creo que podría ser de la siguiente manera. Hay una serie de experimentos que sugieren una relación de dispersión$\Delta p \Delta x \geq \hbar/2$, que no puede ser explicado por la mecánica clásica. Este hecho experimental puede utilizarse como motivación para la sustitución del espacio de fase conmutativo de la mecánica clásica por un espacio de fase no conmutativo. El análisis matemático de la geometría no conmutativa revela que los productos ordinarios en el espacio de fase deben sustituirse por productos iniciales, el estado de espacio de fase clásico debe sustituirse por uno,$\rho^\mathrm{W}$, que está limitado a regiones del espacio de fases mayores que la longitud de Planck--, y los corchetes de Poisson deben sustituirse por corchetes de Moyal.

Aunque este enfoque minimalista no se puede obtener utilizando la función de onda ordinaria o el formalismo de Dirac, existen tres desventajas con el enfoque de Wigner & Moyal. (i) El análisis matemático está muy lejos de ser trivial. La primera ecuación cuántica de arriba se deriva fácilmente sustituyendo el producto ordinario por un producto inicial y$\rho \rightarrow \rho^\mathrm{W}$en la expresión clásica. La tercera ecuación cuántica también se puede obtener de esta manera, porque se puede demostrar que

A priori se podría creer que la segunda ecuación cuántica se obtiene de la misma forma. Esto no funciona y da una ecuación incorrecta. La ecuación cuántica de movimiento correcta requiere la sustitución de todo el corchete de Poisson por un corchete de Moyal. Por supuesto, el corchete de Moyal explica la no conmutatividad del espacio de fase, pero no hay justificación para su presencia en la ecuación de movimiento solo por la no conmutatividad. De hecho, esta ecuación cuántica de movimiento se obtuvo originalmente de la ecuación de Liouville Von Neuman a través de la correspondencia formal entre el espacio de fase y el espacio de Hilbert, y cualquier presentación moderna de la formulación de Wigner & Moyal que yo sepa justifica la forma de la ecuación cuántica de movimiento a través de esta correspondencia formal.(ii) La teoría es retrocompatible con la mecánica clásica, porque la geometría conmutativa se reemplaza por completo por una no conmutativa. Como consecuencia, no$\rho^\mathrm{W}$puede representar un estado clásico puro --un punto en el espacio de fases--. Nótese que esta incompatibilidad también está presente en las formulaciones ordinarias de la mecánica cuántica --por ejemplo, ninguna función de onda puede describir completamente un estado clásico puro--. (iii) La introducción del espín en el formalismo de Wigner & Moyal es algo artificial y aún está en desarrollo activo.

¿Lo mejor? Las tres desventajas anteriores pueden eliminarse en un nuevo formalismo de espacio de fase que proporciona un enfoque "minimalista" de la mecánica cuántica mediante una mejora sobre la cuantización geométrica. Este es mi propio trabajo y los detalles y enlaces se divulgarán en los comentarios o en una respuesta separada solo si la comunidad los requiere.

No hay una mejor manera de responder a la pregunta "¿Por qué la mecánica cuántica?", Porque la mejor respuesta dependerá exactamente de qué es escéptico el que pregunta. Supongamos que el capítulo local de Quantum Mechanics Haters' Union (QMHU) me invitara a defenderles el concepto.

Primero, Alice dice: "Realmente no sé nada sobre QM, pero he oído que usa 'nubes de probabilidad' y 'muchos mundos' y 'nada es verdad' y esas cosas, y simplemente no me atrevo a creer que algo tan extraño podría estar bien". Le explicaría el fenómeno de la interferencia de doble rendija de un solo electrón. Es bastante obvio que ninguna teoría de las partículas puntuales clásicas puede explicar eso.

Entonces Bob dice: "Tengo una sólida formación de pregrado o posgrado en QM, y admito que la interferencia de doble rendija de un solo electrón es realmente extraña. Pero la mecánica cuántica parece aún más extraña, así que sigo apostando a que hay una explicación totalmente clásica para ello". ." Le explicaría los teoremas de Kochen-Specker y Bell.

Entonces Charlie dice: "Está bien, me convenciste de que la mecánica clásica no puede explicar cosas como la interferencia de doble rendija de un solo electrón. Pero tampoco es obvio que la mecánica cuántica pueda hacerlo. Después de todo, en realidad es un sistema bastante difícil de analizar". cuantitativamente". Le explicaría los espectros de energía del átomo de hidrógeno y le mostraría que un cálculo que solo toma unas pocas lecciones puede predecir fenómenos reales observados con extrema precisión.

Luego, Deborah dice: "Está bien, eso es bastante impresionante. Pero apuesto a que sin demasiado esfuerzo, podríamos llegar a una teoría más sencilla que haga predicciones igualmente precisas cuantitativamente". Le explicaría que los valores predichos teóricamente y medidos experimentalmente del momento magnético anómalo del electrón concuerdan en diez cifras significativas, y que ninguna predicción en ningún ámbito de la existencia humana ha sido nunca tan precisa cuantitativamente, por lo que cualquier alternativa a QM sería tiene que ser bastante bueno.

Entonces Ethan dice: "Está bien, estoy convencido de que QM es muy útil para explicar algunas cosas extrañas que suceden cuando disparas un electrón a dos rendijas estrechas, o mide con precisión la frecuencia de la luz emitida por el hidrógeno excitado eléctricamente. Pero, ¿a quién le importa? Nunca he hecho ninguna de esas cosas y nunca lo haré". Le explicaría que la mecánica cuántica es crucial para comprender cómo crear una amplia gama de materiales útiles, sobre todo semiconductores, de los que depende prácticamente todo el equipo electrónico fabricado en los últimos 50 años.

Luego, Franny dice: "Mi objeción es la misma que la de Ethan, excepto que soy amish, así que no uso dispositivos electrónicos, y tu respuesta no me satisface". Le explicaría que el principio de exclusión de Pauli, que solo tiene sentido para los sistemas cuánticos, es lo que mantiene los electrones en cada átomo de su cuerpo en sus orbitales y evita que todos choquen contra el$1s$estado, lo que haría que se derritiera en un charco bosónico.

Entonces George dice: "Soy profesor de filosofía, así que no me importa nada remotamente práctico o importante. Todo lo que me importa son las 'grandes preguntas'". Le explicaría que el desarrollo de la mecánica cuántica es uno de los eventos en toda la historia humana que ha cambiado más radicalmente nuestra comprensión de la naturaleza ontológica básica de la existencia, y que los filósofos todavía están debatiendo activamente lo que "realmente significa".

Luego, Harriett dice: "Igual que George, pero soy profesor de matemáticas, así que todo lo que me importa son las matemáticas". Le explicaría que el desarrollo de QM ha llevado a grandes desarrollos ganadores de medallas Fields en nuestra comprensión de las matemáticas puras, como en las áreas de haces de fibras, teoría cuántica de campos y teoría topológica de campos.

Entonces Iris dice: "No me importa nada de eso. Todo lo que quiero es montones, montones de dinero". Le explicaría que, relativamente pronto, las computadoras cuánticas podrán factorizar grandes números de manera eficiente, rompiendo el esquema de encriptación RSA que utilizan la mayoría de los bancos, por lo que si tiene en sus manos una, podría robar montones y montones. de dinero.

Luego, Jonathan Gleason dice: "No tengo ninguna objeción personal a la idea de la mecánica cuántica, simplemente me resulta muy difícil entenderlo. ¿Me puede dar un resumen conceptual de cinco oraciones, suponiendo una comprensión sólida de la mecánica clásica?" (¿Ves lo que hice allí? Creo que esta pregunta es la más cercana a la formulación original del OP). Así es como respondería: "La mecánica clásica es bastante dura al no permitir ninguna variación funcional$\delta S / \delta \varphi$en absoluto en la acción. Todo el mundo comete errores, no hay necesidad de tirar el libro a esos campos. En lugar de prohibir por completo cualquier configuración de campo para la cual la acción cambie aunque sea un poco, seamos amables. Dejaremos que los campos se salgan con la suya tomando ocasionalmente algunos valores en los que la acción no es completamente estacionaria. Pero no queremos que esos malditos campos abusen de nuestras actitudes liberales, por lo que los penalizaremos en una escala móvil, donde cuanto más rápido cambia la acción en una configuración de campo particular, más pisamos fuerte".

Siempre me gusta leer " LOS CALCETINES DE BERTLMANN Y LA NATURALEZA DE LA REALIDAD " * de J. Bell para recordarme cuándo y por qué una descripción clásica debe fallar.

Básicamente se refiere a las correlaciones EPR. Podría motivar su razonamiento comparando la teoría común de conjuntos (por ejemplo, pruebe con tres conjuntos diferentes: A, B, C e intente fusionarlos de alguna manera) con el mismo concepto de "conjuntos" en los espacios de Hilbert y verá que no son iguales ( teorema de Bell).

• http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00220688/en/

Me parece que su pregunta es esencialmente pedir un modelo matemático platónico de la física, principios subyacentes a partir de los cuales el formalismo cuántico podría justificarse y, de hecho, derivarse. Si es así, eso lo coloca en el campo minoritario (pero creciente) de físicos realistas en comparación con la gran mayoría de instrumentistas tradicionales.

El inconveniente es la mejor, si no la única, oportunidad de desarrollar un modelo como ese requiere un conocimiento divino o al menos, con una intuición casi sobrehumana, una conjetura correcta sobre los fenómenos subyacentes, y obviamente nadie ha logrado aún lo suficiente para unificar todo. física bajo una sola rúbrica en ese sentido.

En otras palabras, irónicamente, para llegar a la explicación más abstracta se requiere el enfoque más práctico, al igual que ver en las escalas más pequeñas necesita el microscopio más grande, como el LHC, o Sherlock Holmes puede llegar a la conclusión más inesperada solo con datos suficientes. (Hechos, Watson, ¡necesito más hechos!)

Entonces, a pesar de ser un compañero realista, veo que el instrumentalismo (contentarse con modelar los efectos sin buscar las causas fundamentales, lo que podría compararse con las "pruebas de caja negra") ha sido y sigue siendo indispensable.

El cálculo de Thomas tiene un ejercicio instructivo de mecánica newtoniana que todos deberían reflexionar: la fuerza del campo gravitatorio dentro de la Tierra es proporcional a la distancia desde el centro, y por lo tanto es cero en el centro. Y, por supuesto, está la prueba rigurosa de que si la materia se distribuye uniformemente en una esfera, entonces fuera de la esfera ejerce una fuerza gravitatoria idéntica a la que se habría ejercido si toda la masa se hubiera concentrado en el centro.

Ahora bien, si uno reflexiona sobre esto desde un punto de vista físico, «qué es la materia», uno termina con dificultades lógicas y físicas que solo fueron respondidas por la teoría de las ondas de materia de De Broglie y Schroedinger.

Esto también surge de reflexionar sobre la sabia observación de Dirac: si "grande" y "pequeño" son términos meramente relativos, no sirve de nada explicar lo grande en términos de lo pequeño... debe haber un significado absoluto para el tamaño.

¿Es la materia un polvo o un fluido que se distribuye uniforme y continuamente y puede adquirir cualquier densidad (menos del infinito)? Entonces esa esfera de materia uniformemente distribuida debe encogerse hasta un punto de densidad infinita en un tiempo finito... ¿Por qué la materia debe ser rígida e incompresible? Realmente, esto es inexplicable sin la teoría ondulatoria de la materia. La ecuación de Schroedinger muestra que si, por alguna razón, una onda de materia comienza a comprimirse, experimenta una fuerza restauradora para oponerse a la compresión, de modo que no puede avanzar más allá de cierto punto (sin verter más energía en ella).
Consulte el https://physics.stackexchange.com/a/18421/6432 relacionado . Sólo esto puede explicar por qué el concepto de «partícula» puede tener alguna validez y no necesitar algo más pequeño aún para explicarlo.

En sus Principios de mecánica cuántica, Dirac describe algunos problemas teóricos inherentes a la mecánica clásica que podrían motivar a algunos a tomar algunos de los principios básicos de la mecánica cuántica como características fundamentales anticipadas de la física sin hacer referencia a los experimentos reales que llevaron a la versión precisa de la mecánica cuántica tal como la entendemos hoy. . Por supuesto, Dirac también esboza los fracasos experimentales de la mecánica clásica en el mismo capítulo en el que menciona estas consideraciones teóricas (de hecho, menciona los fracasos experimentales antes que las consideraciones teóricas, probablemente por la razón obvia de que a nadie le gustaría tomar las preocupaciones teóricas bastante vagas con un esquema tan exitoso de la mecánica clásica muy en serio hasta que se enfrentan con el hecho bruto de que el esquema de hecho no es genéricamente adecuado). Con este prefacio,

Si queremos explicar la estructura última de la materia, entonces no puede entenderse en la forma clásica de pensar. Porque el enfoque clásico sería comprender la materia macroscópica en términos de sus constituyentes microscópicos. Pero el tema es "¿Con qué fin?". Claramente, clásicamente, uno podría imaginar que estos constituyentes microscópicos están formados además por constituyentes aún más microscópicos. (Y si lo piensas bien, esto realmente agrega mucha estructura (información si lo deseas) a la materia que no se puede explicar cuando medimos las capacidades de calor específicas finitas de la materia. Así que explicando lo grande en términos de lo pequeño no puede tener éxito hasta que sepamos dónde parar y no puede haber un punto de parada lógico a menos que tengamos un significado absoluto para los pequeños. La única noción genérica de grande y pequeño puede definirse en referencia a la perturbación que una medida provoca en el sistema. Dado que el pensamiento clásico sugiere que las medidas pueden ser tan suaves como queramos, no existe un pequeño absoluto porque, para una medida lo suficientemente suave, cualquier sistema puede considerarse lo suficientemente grande. La única salida es que haya un límite a la suavidad de las medidas, en principio, porque esto facilitará la noción de una escala absolutamente pequeña. La escala a la que los constituyentes pueden tratarse verdaderamente como sin estructura sin más estructura interna. Una vez que hemos llegado hasta aquí, podemos afirmar además que, dado que ciertas medidas son necesariamente poco cuidadosas hasta cierto punto,

Entonces, tenemos la incertidumbre ineludible y la inevitabilidad de la naturaleza probabilística de los resultados de las mediciones. Por supuesto, todo esto es extremadamente ondulado a mano, pero dado que el OP solicitó algo puramente teórico, pensé que esto debe ser lo más lejos que se puede llegar de las consideraciones puramente teóricas porque ¡hasta ahí llegó Dirac!

PD: Hay una forma muy vaga de motivar muy parcialmente la versión integral de trayectoria de la mecánica cuántica de la mecánica clásica sin referencia a ninguna otra discusión de la mecánica cuántica. Eso es tomar religiosamente en serio el principio de acción. Es decir, dado que el principio de acción parece seleccionar toda la trayectoria a la vez entre todas las demás trayectorias posibles, en lugar de descubrir el camino a la manera de la madrastra de la ley de movimiento newtoniana explícitamente determinista, si vamos a elevar esta característica distintiva del principio de acción ( por alguna razón misteriosa ), entonces podemos decir que la partícula en realidadconsidera todos los caminos posibles para ir de un punto al otro. Esto posiblemente podría motivar a uno a pensar realmente en la partícula como en superposición de todas estas trayectorias. Aunque el resto de las características aún no están claras.

La mecánica clásica no es la teoría final por un lado y no es más descomponible por el otro. Así que no se puede mejorar, se da tal cual.

Por ejemplo, no puede explicar por qué si el cuerpo en movimiento desaparece del punto anterior de su trayectoria, debería reaparecer en un punto cercano infinitesimal pero no puede aparecer un metro más adelante (teletransportarse). ¿Qué significa restringir los puntos de trayectoria en una línea continua? Sin respuesta. Este es un axioma. No se puede construir un MECANISMO para restringir.

Otro ejemplo: no puedes dejar de descomponer los cuerpos en partes. No puedes llegar a los elementos finales (partículas) y si lo haces, entonces ya no puedes explicar por qué estas partículas son indivisibles. La materia debería ser continua en los clásicos mientras no te imagines cómo existen los puntos materiales.

Además, no puedes explicar cómo todo el universo infinito puede existir simultáneamente en toda su información. ¿Qué sucede en una caja absolutamente cerrada o qué sucede en regiones del espacio-tiempo absolutamente inalcanzables? Los clásicos nos tienden a pensar que la realidad también es real allí. Pero, ¿cómo puede ser si es absolutamente indetectable? El enfoque científico dice que solo existe lo que se puede medir. Entonces, ¿cómo puede ser realidad en una caja absolutamente cerrada (con un gato dentro)?

En la mecánica clásica no puedes alcanzar la identidad absoluta de los bloques de construcción. Por ejemplo, si todos los átomos están formados por protones, neutrones y electrones, estas partículas son similares, pero no iguales. Dos electrones en dos átomos diferentes no son iguales en el clásico, son dos copias de un prototipo, pero no el prototipo en sí. Por lo tanto, no se pueden definir bloques de construcción realmente básicos de la realidad en los clásicos.

No se puede definir el indeterminismo en los clásicos. No se pueden definir las posibilidades no realizadas en el clásico y no se puede decir lo que sucedió con la posibilidad que era posible pero no se realizó.

No se puede definir la no localidad en los clásicos. Solo hay dos posibilidades en los clásicos: un evento afecta a otro (una causa y un efecto) y dos eventos son independientes. ¡No puedes imaginar que dos eventos se correlacionen pero no se afecten entre sí! ¡Esto es posible pero inimaginable en los clásicos!