Encontrar los componentes de B en el tensor de campo electromagnético

Tengo un poco de confusión acerca de cómo se escriben los componentes del campo magnético en función del tensor de campo.

yo tengo la metrica ( − , + , + , + ) entonces mi tensor de campo es este

(3) F m v = ( 0 mi 1 mi 2 mi 3 − mi 1 0 B 3 − B 2 − mi 2 − B 3 0 B 1 − mi 3 B 2 − B 1 0 )

Normalizo el símbolo de Levi-Civita de esta manera: ϵ 123 = 1

En muchos libros de texto y en las notas del instructor, los componentes de B se definen así:

B k = 1 2 ϵ i j k F i j

i , j , k corre de 1 a 3 .

Así, por ejemplo, para encontrar B 3 , lo cual es claramente F 12 , Lo puse k = 3 y sumar sobre la permutación del símbolo de Levi-Civita obteniendo algo así

1 2 ( ϵ 123 F 12 + ϵ 213 F 21 ) = 1 2 ( F 12 − F 21 ) = F 12 = B 3

Pero realmente no sé por qué estoy sumando, o si hay algo que me dice que sume sobre las permutaciones de i y j , estoy sumando solo porque de esta manera obtengo el resultado correcto. Pero creo que sería más sencillo escribir

B k = ϵ i j k F i j

De esta forma no se requiere sumatoria, simplemente se calcula el valor de ϵ i j k .

Por ejemplo, k = 3 , i y j ahora son libres asi que escribo ϵ i j k dando un valor a i y el otro a j , eligiendo la opción más simple que tengo B 3 = ϵ 123 F 12 = 1 F 12 . La otra opción es B 3 = ϵ 213 F 21 = − F 21 = F 12

Entonces mis preguntas son:

porque esa forma de escribir B k y no el otro mas simple?

¿Por qué sumar sobre permutación? Me refiero a lo que me dice que tengo que sumar las permutaciones y no solo elegir un valor para i y j y calcular el valor del tensor de Levi-Civita?

La única diferencia entre la primera y la segunda fórmula es que omitió el 1/2 en la segunda, no estoy seguro de por qué cree que esa es mejor o qué quiere decir con "no se requiere sumatoria". quiere decir "calcular [ing] el valor de ϵ i j k "?
@ACuriousMind Edité la pregunta, espero que esté más clara ahora. Perdón por el "calculo" acabo de traducir de mi primer idioma y estaba mal

Respuestas (1)

Así no es como funciona la notación de índice. dices eso en

(1) B k = ϵ i j k F i j
usted es "libre de elegir" el i y j , pero luego solo elige las dos opciones (1,2) y (2,1) para las cuales da los resultados correctos. Qué pasa i = 1 , j = 3 , o i = 2 , j = 2 ? Usted eligió esos específicos i arena j s porque sabía qué resultado quería , no porque de alguna manera sea una elección dictada por la notación (1).

Para evitar elecciones tan ambiguas, todos los índices en notación de índice deben aparecer en ambos lados de la ecuación o sumarse . La convención general es sumar sobre índices repetidos, aunque en su entorno relativista, la posición del índice es realmente relevante y la ecuación debe escribirse

(2) B k = ϵ i j k F i j .
Aquí ahora está sumando todos los valores posibles para i y j , no solo sobre sus permutaciones, sino también sobre esos índices i j k que no son permutaciones de 123 simplemente arroja cero porque el símbolo de Levi-Civita es cero para esos índices.

Sí, tienes razón. No me di cuenta de las otras posibilidades y las excluí. Gracias por tu respuesta clara y precisa. Así que si me encuentro con algo como 1 / 2 ϵ i j k F i j , si quiero escribirlo usando B explícitamente, ¿debería bajar 2 índices primero y luego sumar? Otra cosa, no estoy seguro, pero tal vez en tu respuesta en ( 2 ) , no debería ser F i j
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