Identidad del operador de Dirac separando matrices gamma

estoy tratando de mostrar que

$$(i\gamma^\mu\partial_\mu -e\gamma^\mu A_\mu)^2 = (i\partial_\mu -eA_\mu)^2 -\frac{e}{2} \sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu},$$ dónde $\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$.

hasta ahora tengo

$$\begin{align} (i\gamma^\mu\partial_\mu -e\gamma^\mu A_\mu)^2 &= \gamma^\mu\gamma^\nu(i\partial_\mu-e A_\mu)(i\partial_\nu -e A_\nu) =(i\partial_\mu)^2+(eA_\mu)^2 - ie\gamma^\mu\gamma^\nu(\partial_\mu A_\nu + A_\mu\partial_\nu) \\ &=(i\partial_\mu-eA_\mu)^2+ie\partial_\mu A^\mu +ie A_\mu\partial^\mu - \frac{1}{2}ie(\gamma^\mu\gamma^\nu+2\eta^{\mu\nu}-\gamma^\nu\gamma^\mu)(\partial_\mu A_\nu + A_\mu\partial_\nu) \\ &= (i\partial_\mu-eA_\mu)^2- \frac{1}{2}ie(\gamma^\mu\gamma^\nu-\gamma^\nu\gamma^\mu)(\partial_\mu A_\nu + A_\mu\partial_\nu) \\ &= (i\partial_\mu-eA_\mu)^2 - e\sigma^{\mu\nu}(\partial_\mu A_\nu + A_\mu\partial_\nu), \end{align}$$ que está cerca, pero no del todo. puedo mostrar eso $\sigma^{\mu\nu}\partial_\mu A_\nu = \frac{1}{2} \sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$, por lo que tendría el resultado correcto si el $A_\mu\partial_\nu$término se desvanece. Pero no tengo un buen argumento de por qué ese sería el caso. ¿Por qué sería eso?