Derivación de la forma cuadrática de la ecuación de Dirac

Me piden derivar la forma cuadrática de la ecuación de Dirac en un campo electromagnético,

$\left[\left(i\hbar \partial - \frac{e}{c}A\right)^2 - \frac{\hbar e}{2c} \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu} - m^2c^2\right] \psi = 0,$

dónde$F_{\mu\nu} =\partial_{\nu} A_{\mu} - \partial_{\mu} A_{\nu}$es el tensor de campo em habitual y$\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2}[\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}].$

Una pista en mi libro de texto sugiere que multipliqué por la izquierda la ecuación de Dirac,

$\left[-\gamma^{\mu} \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) + mc\right] \psi = 0,$

por la expresión$\gamma^{\nu} \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) +mc$y utilice las relaciones de conmutación para las matrices gamma. No he tenido éxito con este fin. yo obtengo

0 =$\left[-\gamma^{\nu} \gamma^{\mu} \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) + m^2 c^2 \right] \psi = - \left[( \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} + 2 i \sigma^{\mu\nu}) \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) - m^2 c^2 \right] \psi = -\left[ -\left(i\hbar \partial - \frac{e}{c}A\right)^2 + 2 i \sigma^{\mu\nu} \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) - m^2 c^2 \right] \psi,$

donde en el último paso he usado$(\gamma^{\mu})^2=-\mathbb{1}$.

A partir de aquí he intentado expandir la expresión$\left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right)$y reescribiendo el término cruzado apropiado en términos de$F_{\mu\nu}$pero no sé qué hacer con los otros términos. Parece que no puedo extraer el término$\frac{\hbar e}{2c} \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu}$. Asimismo, el signo de la$\left(i\hbar \partial - \frac{e}{c}A\right)^2$término parece estar al revés. Puede alguien ayudarme con esto?