La sustitución ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ\partial_\mu \to D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu permite la introducción de interacciones electromagnéticas [duplicado]

Question

La sustitución ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ\partial_\mu \to D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu permite la introducción de interacciones electromagnéticas [duplicado]

usuario68725

Quiero mostrar que la sustitución $\partial_u \to D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu$ , o equivalente $p_\mu \to p_\mu - eA_\mu$ permite la introducción de interacciones electromagnéticas. Aquí $e$ es la carga eléctrica de la partícula en cuestión $($ $e=-|e|$ por un electrón $)$ , y $A^\mu = (\Phi, \vec{A})$ es el vector potencial. Convirtiendo la ecuación de Dirac en la forma

[\vec{α} \cdot (\vec{pag} - mi \vec{A}) + β metro] ψ = (mi - mi Φ) ψ

$[\vec{\alpha} \cdot (\vec{p} - e\vec{A}) + \beta m]\psi = (E - e\Phi)\psi$ a una ecuación de segundo orden, y tomando el límite de baja energía, demuestre que la interacción con el campo electromagnético da lugar a un cambio de energía en presencia de un campo magnético

\vec{B} = \nabla \times \vec{A}

$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ de la forma

Δ mi = - \frac{mi}{2 metro} \vec{σ} \cdot \vec{B}

$\Delta E = -{{e}\over{2m}}\vec{\sigma} \cdot \vec{B}$ y por lo tanto implica un valor de

g = 2

$g=2$ por el momento magnético del electrón

\vec{μ}

$\vec{\mu}$ definido en términos de su espín

S

$S$ como

\vec{tu} = gramo (\frac{mi}{2 metro}) \vec{S} .

$\vec{u} = g\left({e\over{2m}}\right)\vec{S}.$ Progreso hasta ahora: la ecuación de Dirac es

(i γ^{m} D_{m} - metro) ψ = (i γ^{m} (\partial_{m} + i mi A_{m}) - metro) ψ = 0.

$(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi = (i\gamma^\mu(\partial_\mu + ieA_\mu) - m)\psi = 0.$ si tomamos

γ^{0} = β

$\gamma^0 = \beta$ ,

γ^{i} = β α_{i}

$\gamma^i = \beta\alpha_i$ ,

\partial_{μ} = (\partial_{i}, \nabla)

$\partial_\mu = (\partial_i, \nabla)$ , y

A_{μ} = (Φ, - A)

$A_\mu = (\Phi, -{\bf A})$ entonces podemos escribir esto como

[i β (\partial_{t} + i mi Φ) + i β α \cdot (\nabla - i mi A) - metro] ψ = 0

$[i\beta(\partial_t + ie\Phi) + i\beta\alpha \cdot (\nabla - ie{\bf A}) - m]\psi = 0$ o, desde

β^{2} = 1

$\beta^2 = 1$ ,

[i (\partial_{t} + i mi Φ) + i α \cdot (\nabla - i mi A) - metro β] ψ = 0.

$[i(\partial_t + ie\Phi) + i\alpha \cdot (\nabla - ie{\bf A}) - m\beta]\psi = 0.$ Intenté algunas cosas después de esto, pero no funcionaron. ¿Alguien puede darme un paso en la dirección correcta?

Respuestas (1)

La sustitución ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ\partial_\mu \to D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu permite la introducción de interacciones electromagnéticas [duplicado]

usuario63931 · Answer 1

Lo que tienes es un buen comienzo. Si hacemos las asignaciones habituales que ${\partial\over{\partial t}} \to -iE$ y $\nabla \to i{\bf p}$ entonces obtenemos

(mi - mi Φ) ψ = (α \cdot (pag - mi A) + metro β) ψ .

$(E - e\Phi)\psi = (\alpha \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) + m\beta)\psi.$ Ahora, elija una representación particular

β = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), α_{i} = (\begin{matrix} 0 & σ^{i} \\ σ^{i} & 0 \end{matrix}) .

$\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\text{ }\alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ \sigma^i & 0\end{pmatrix}.$ Es fácil comprobar que dan las relaciones de anticonmutación correctas. Entonces si denotamos

ψ = (\begin{matrix} x \\ φ \end{matrix})

$\psi = \begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix}$ y reemplazamos esto en la ecuación de Dirac obtenemos

(mi - mi Φ) (\begin{matrix} x \\ φ \end{matrix}) = σ \cdot (pag - mi A) (\begin{matrix} φ \\ x \end{matrix}) + metro (\begin{matrix} x \\ - φ \end{matrix}) .

$(E - e\Phi)\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} = \sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\begin{pmatrix} \varphi \\ \chi\end{pmatrix} + m\begin{pmatrix} \chi \\ -\varphi\end{pmatrix}.$ Si notamos que la energía no relativista

E^{'}

$E'$ está relacionado con el relativista por

E^{'} = E - m

$E' = E - m$ entonces la ecuación se convierte en

{mi}^{'} (\begin{matrix} x \\ φ \end{matrix}) = σ \cdot (pag - mi A) (\begin{matrix} φ \\ x \end{matrix}) + mi Φ (\begin{matrix} x \\ φ \end{matrix}) - 2 metro (\begin{matrix} 0 \\ φ \end{matrix}) .

$E'\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} = \sigma \cdot ({\bf p} - E{\bf A})\begin{pmatrix} \varphi \\ \chi\end{pmatrix} + e\Phi\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} - 2m\begin{pmatrix} 0 \\ \varphi\end{pmatrix}.$ En el límite no relativista

E^{'} ≪ m

$E'\ll m$ por lo que el segundo componente de la ecuación anterior se puede escribir

φ = \frac{σ \cdot (pag - mi A) x}{2 metro} .

$\varphi = {{\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\chi}\over{2m}}.$ Entonces podemos escribir el primer componente como una ecuación de segundo orden:

{mi}^{'} x = {\frac{1}{2 metro} σ \cdot (pag - mi A) σ \cdot (pag - mi A) + mi Φ} x .

$E'\chi = \bigg\{{1\over{2m}}\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) \sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) + e\Phi\bigg\}\chi.$ Desde

σ^{i} σ^{j} = δ^{i j} + i ϵ^{i j k} σ^{k}

$\sigma^i\sigma^j = \delta^{ij} + i\epsilon^{ijk}\sigma^k$ tenemos

(σ \cdot a) (σ \cdot a) = a \cdot b + i σ \cdot (a \times b)

$(\sigma \cdot {\bf a})(\sigma \cdot {\bf a}) = {\bf a} \cdot {\bf b} + i\sigma \cdot ({\bf a} \times {\bf b})$ . Entonces,

σ \cdot (pag - mi A) σ \cdot (pag - mi A) = (pag - ϵ A)^{2} + i ϵ^{i j k} σ^{k} (- i \partial_{i} - mi A_{i}) (- i \partial_{j} - mi A_{j})

$\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) = ({\bf p} - \epsilon{\bf A})^2 + i\epsilon^{ijk}\sigma^k(-i\partial_i-eA_i)(-i\partial_j - eA_j)$

= (pag - mi A)^{2} + i ϵ^{i j k} σ^{k} (i mi \partial_{i} A_{j} + i mi A_{i} \partial_{j})

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 + i\epsilon^{ijk}\sigma^k(ie\partial_iA_j + ieA_i\partial_j)$

= (pag - mi A)^{2} - mi ϵ^{i j k} σ^{k} ((\partial_{i} A_{j}) + A_{j} \partial_{i} + A_{i} \partial_{j})

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\epsilon^{ijk}\sigma^k((\partial_iA_j) + A_j\partial_i + A_i\partial_j)$

= (pag - mi A)^{2} - mi ϵ^{i j k} σ^{k} (\partial_{i} A_{j})

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\epsilon^{ijk}\sigma^k(\partial_iA_j)$

= (pag - mi A)^{2} - mi σ \cdot (\nabla \times A)

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\sigma \cdot (\nabla \times{\bf A})$

= (pag - mi A)^{2} - mi σ \cdot B .

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\sigma \cdot {\bf B}.$ eso lo conseguimos

{mi}^{'} x = {\frac{(pag - mi A)^{2}}{2 metro} - \frac{mi σ \cdot B}{2 metro} + mi Φ} x .

$E'\chi = \bigg\{{{({\bf p} - e{\bf A})^2}\over{2m}} - {{e\sigma \cdot {\bf B}}\over{2m}} + e\Phi\bigg\}\chi.$

La sustitución ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ\partial_\mu \to D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu permite la introducción de interacciones electromagnéticas [duplicado]

usuario68725

Respuestas (1)

usuario63931

Conteo de grados de libertad y fijación de calibre AμAμA_{\mu} y ψψ\psi en dimensiones DDD

Una relación de completitud más general para los espinores de Dirac

Identidad del operador de Dirac separando matrices gamma

¿Cómo probar que las ecuaciones de espinores de Weyl son invariantes de Lorentz? [duplicar]

Vector potencial AAA en un S2S2S ^ 2 de 2 esferas de radio RRR con algunos puntos eliminados

Derivación de la forma cuadrática de la ecuación de Dirac

Propagador de Feynman para valores arbitrarios del parámetro de calibre ζζ\zeta

Soluciones a la Ecuación de Dirac en la Representación de Weyl

Condensación de Dyon y efecto Meissner generalizado

Potencial magnético calibre Laplaciano de Lorenz