Herramientas numéricas para encontrar estadísticas de trenzado de cuasipartículas

Para un sistema con brechas con orden topológico, las estadísticas de cuasipartículas y los trenzados se pueden extraer numéricamente del entrelazamiento del estado fundamental del sistema, consulte el artículo de Yi Zhang et al .

La idea principal es la siguiente. Considere una fase topológica en un toro. Usando algún método (probablemente numérico), obtienes los estados fundamentales degenerados del sistema en toro. Escribe una combinación lineal más general de esos estados fundamentales degenerados, digamos$\Psi=c_1\psi_1+c_1\psi_2+\cdots$, dónde$\psi_i$son los estados fundamentales que obtuvo y$c_i$los coeficientes

Luego divides el toro en dos cilindros. Después de eso, puede calcular la entropía de entrelazamiento entre esos dos cilindros utilizando el estado fundamental más general. Entonces minimizas la entropía de entrelazamiento.

Dado que la entropía de entrelazamiento es como$S=\alpha L -\gamma$para un sistema topológico 2D gapped, con$\gamma$la entropía de entrelazamiento topológico, y$\alpha$algún parámetro dependiente del modelo, minimizar la entropía de entrelazamiento significa maximizar la entropía de entrelazamiento topológico. Es decir, maximiza la "información topológica" que puede obtener.

Suponga que trabaja en un sistema con degeneración del estado fundamental$N$sobre el toro. Tras el proceso de minimización obtendrá una (o más) combinación de$\{c_i\}$que minimiza la entropía. Luego, busca los estados que tienen la entropía de entrelazamiento mínima en el espacio de estado ortogonal a los estados que acaba de encontrar. Continúe este proceso hasta que haya encontrado exactamente$N$estados con mínima entropía de entrelazamiento. Llamamos tal$N$estados fundamentales "estados mínimamente entrelazados", que en realidad son los estados propios de los operadores no locales que distinguen los estados fundamentales topológicamente degenerados.

Justo ahora hemos dividido el toro en dos cilindros cortando uno de sus bucles incontraíbles. Ahora dividimos el toro en otros dos cilindros (o anillos que se pueden deformar en cilindros) cortando el otro bucle no contráctil del toro. De manera similar, puede calcular la entropía de entrelazamiento utilizando el método más general$\Psi$y repita el procedimiento de minimización. Encontrarás otro grupo de estados mínimamente entrelazados.

Luego, calcula la superposición entre estos dos grupos de estados mínimamente entrelazados. Es una matriz que identificamos con la modular$S$matriz que caracteriza las estadísticas mutuas de cuasipartículas. Después de todo el modular$S$la transformación es simplemente intercambiar los dos bucles incontraíbles del toro.

Para modelos especiales como$Z_2$líquido de centrifugado, también se puede encontrar el$T$matriz de la entropía de entrelazamiento, pero no parece haber un algoritmo general.

Ha habido al menos dos trabajos que utilizan este método en FQHE en bandas planas topológicas y modelos de Fibonacci e Ising . Realizaron una diagonalización exacta en sistemas pequeños para encontrar los estados fundamentales. No sé sobre los trabajos más nuevos, pero creo que esos son suficientes para que uno entienda los procedimientos.

"Para qué sistemas falla", no estoy seguro, pero creo que el método anterior funciona bien para todos los sistemas con brechas con orden topológico.

Los anyones abelianos se pensaron originalmente como partículas que se interpolan entre bosones y fermiones. Como tal, sus funciones de onda conjuntas toman una fase cuando una de ellas se intercambia con otra. Esta fase generalmente no es un múltiplo de$\pi$, y uno dice que las partículas obedecen a estadísticas de intercambio fraccionario , que es lo mismo que ustedes llaman estadísticas de trenzado. Llamemos a esta fase$\alpha$.

Ahora, si uno quiere llevar más lejos la imagen de la interpolación, uno puede considerar la idea de que los anyons también pueden obedecer a las estadísticas de exclusión fraccionaria , es decir, que solo se permite un cierto número de anyons en un cierto número de estados cuánticos-mecánicos. Para los fermiones, esto equivale al principio de exclusión de Pauli (1 fermión por 1 estado mecánico cuántico) y para los bosones se reduce a ninguna restricción. Asociemos otro parámetro$\beta$a la tasa de cambio del espacio Fock de una cierta especie de anyons al aumentar el tamaño del sistema.

Si la analogía de la interpolación es correcta, entonces$\alpha$y$\beta$deben tener una relación única entre sí . Por lo tanto, se puede inferir$\alpha$del valor de$\beta$.

¿Por qué alguien querría evaluar$\alpha$indirectamente a través$\beta$en lugar de conseguir$\alpha$¿directamente? La respuesta corta es que$\beta$es mucho más fácil de obtener en cálculos de sistemas finitos de sistemas de partículas correlacionadas ordenadas topológicamente. Resulta que este enfoque es viable y produce resultados correctos en los cálculos de diagonalización exacta .

No conozco ningún otro enfoque que pueda generar información similar genéricamente para sistemas correlacionados. Quizás otra respuesta sea más esclarecedora a este respecto.