Encontrar transformaciones unimodulares explícitas para matrices K de Chern-Simons

Condición necesaria y suficiente para la conjugación : véase la ley de inercia de Sylvester . En su notación, las dos matrices simétricas$K$y$K'$son conjugados por una transformación$W^TKW = K'$si y solo si tienen el mismo número de valores propios positivos y negativos (no hay valores propios nulos ya que ambos no son singulares). Sin embargo, los valores propios no necesitan ser idénticos.

Condición necesaria y suficiente para$W$ser unimodular :$K$no tiene por qué ser unimodular, pero la relación de conjugación impone

$$[\det(W)]^2 = \frac{\det(K')}{\det(K)}$$ entonces $W$es unimodular si y solo si $$\det(K) = \det(K')$$

Encontrar la transformación$W$: Diagonalizar$K$y$K'$como

$$K = U^T Q U,\;\;\;\;,U^TU = UU^T = I\;\;\;\;\;Q=Q^T=\text{Diag}(\lambda_K)$$ $$K' = {U'}^T{Q'}{U'}, \;\;\;\;\;{U'}^T{U'} = {U'}{U'}^T = I\;\;\;\;\;{Q'}={Q'}^T= \text{Diag}(\lambda_{K'})$$ donde las matrices diagonales $Q$, $Q'$enumere los valores propios $\lambda_K$, $\lambda_{K'}$en orden, digamos de menor a mayor. Definir más $S = \text{Diag}(\sqrt{|\lambda_K|})$, ${S'} = \text{Diag}(\sqrt{|\lambda_{K'}|})$, y reescribir $$Q = S^T D S,\;\;\;\;\; Q' = {S'}^T D {S'}$$ dónde $$D = \text{Diag}(\text{sign}(\lambda_K)) = \text{Diag}(\text{sign}(\lambda_{K'}))$$ es ahora una matriz unimodular diagonal, $[\det(D)]^2 = 1$. Sustituir todo en la relación de conjugación lo lleva a la forma $$(S U W)^T D (S U W) = ({S'}{U'})^T D ({S'}{U'})$$ y permite la identificación, por ejemplo, $$S U W = {S'}{U'}$$ que finalmente da $$W = U^T S^{-1}{S'}{U'}$$ Si $\det(K) = \det(K')$Después también $\det(S) = \det(S')$y entonces $\det(W) = \pm 1$, Dependiendo de $\det(U)$, $\det(U')$.

Tenga en cuenta sin embargo que$W$no es único Cualquier${\bar W} = U^T S^{-1}V{S'}{U'}$con$V$tal que$V^TDV = D$(Por ejemplo$[V, D] = [V^T, D] = 0$y$V^TV = I$) funciona igual de bien.