¿Hay un nombre para esta propiedad de funciones en grupos?

El conjunto de tales funciones está en correspondencia biunívoca con el conjunto de todas las funciones$G^{n-1}\to G.$

Por ejemplo, si$H:G^{n-1}\to G$podemos definir:

$$F(g_1,\dots,g_n)=g_nH(g_n^{-1}g_1,g_n^{-1}g_2,\dots,g_n^{-1}g_{n-1})$$

Por otro lado, dada una$F,$podemos volver$H$por:

$$H(g_1,\dots,g_{n-1})=F(g_1,\dots,g_{n-1},1).$$

Entonces tales funciones$F$no parece demasiado interesante.

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Cabría preguntarse, de manera más general, si$G$actúa en un conjunto$X,$entonces$G$actúa sobre$X^n,$y que podemos decir de las funciones$F:X^n\to X$que es un mapa en la categoría de conjuntos sobre los que actúa$G?$En tu caso,$X=G.$

Esto podría ser más complicado. Por ejemplo, si$G$actúa sobre$X$ $2$-transitivamente, y$n=2,$entonces$F$está enteramente determinada por un valor de la forma$F(x,x)$y un valor de la forma$F(x,y), x\neq y.$Así que hay como máximo$|X|^2$tales funciones en ese caso.

En general,$X^n/G$es muy complicado, pero cuando$X=G$con la acción simple, es bastante simple.

Me gustaría generalizar un poco más la respuesta de Thomas Andrews. Dejar$G$actuar en dos conjuntos$X$y$Y$y considerar funciones$F:X\to Y$tal que$F(gx) = gF(x)$. En el escenario original, tenemos$X=G^n$,$Y=G$. Como ha señalado Thomas Andrews,$F$está determinada por su valor en un representante de cada órbita en$X/G$. Esto es, por supuesto, porque si$F(x_0)$se sabe, entonces$F(gx_0)=gF(x_0)$es forzado para todos$gx_0$en la órbita de$x_0$.

En el escenario original, Thomas Andrews mostró (en palabras ligeramente diferentes) que las funciones$F$están de hecho en una correspondencia uno a uno con el conjunto de todas las funciones$G^n/G\to G$(es decir, funciones$X/G\to Y$). ¿Cuándo tendremos esta bonita propiedad en general?

Para cada órbita en$a\in X/G$, elige un representante canónico$\psi(a)\in a$. Vamos a escribir$\hat x = \psi([x])$para el representante de$x$la órbita de . Ahora queremos definir$F$eligiendo un valor en cada representante de órbita, y luego configurando

$$F(x) = F(g_x \hat x) := g_x F(\hat x).$$ Esto no está bien definido en general, porque puede haber varias opciones para$g_x$. Pero si la acción sobre$X$es gratis entonces$g_x$es único por suposición, y somos dorados. De este modo,

Si$G$actúa sobre$Y$y actúa libremente sobre$X$, entonces las funciones$F:X\to Y$tal que$F(gx)=gF(x)$están en una correspondencia uno a uno con el conjunto de todas las funciones$X/G \to Y$.

Recuperamos la función correspondiente$E:X/G \to Y$por simplemente

$$E(a) = F(\psi(a)).$$ Sin embargo, tenga en cuenta que la correspondencia concreta no es única o natural, ya que depende de nuestras elecciones arbitrarias de representantes al definir$\psi$.

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Por último, tomemos el caso especial$G\le H$, dónde$G$es un subgrupo de$X=H$y actúa por multiplicación izquierda. Entonces$h=g_h\hat h \implies g_h = h(\hat h)^{-1}$, por lo que la acción es libre ($g_h$es único), y nuestro resultado se aplica. Este fue el caso en el escenario original, si identificamos$G$con el subgrupo diagonal de$G^n$. En este caso

$$\widehat {(g_1, \ldots, g_n)} := (g_n^{-1}g_1, \ldots, g_n^{-1}g_{n-1}, 1).$$

Se puede decir que la operación de grupo es distributiva por la izquierda sobre$F$.

Cuando escriba sobre esto, asegúrese de incluir su definición, para que sea clara para todos.