He pensado un poco en esto, y solo quiero asegurarme de que estoy en el buen camino, o si necesito que me corrijan. Básicamente, mi respuesta es esta: Sí, siempre debe especificar un dominio al formalizar en lógica de predicados, un dominio sin restricciones da como resultado paradojas. Supongo que, en general, no estoy exactamente seguro de cuál es la base para exigir que especifique un dominio en la lógica de predicados, aparte de que es un requisito de las pruebas de integridad u otros tipos de pruebas para ello.
Por otro lado, un dominio sin restricciones parece inofensivo al principio, porque cuando dices "Todos los hombres son mortales", el primer predicado "hombre" parece restringir el dominio para ti. Aun así, podría permitir otras "categorías" de "hombre" que no pretendías: hombres ficticios, hombres en el futuro, hombres soldados de juguete, etc. Entonces, la opción aquí parece ser que restringes el dominio a un categoría ontológica/semántica, o la categoría debe estar contenida en el predicado. Como ejemplo de lo último, podría estar implícito en el predicado "hombre" anterior que la categoría está restringida a seres humanos contemporáneos, de carne y hueso, y reales.
Como estaba pensando en categorías y preguntándome sobre dominios en el contexto de "errores de categoría", encontré el artículo de SEP sobre "Categorías" y allí (haciendo referencia a alguien llamado Thomasson) vincularon dominios con la dificultad de la paradoja de Russell. Entonces, primero, ¿Un dominio sin restricciones causa la paradoja de Russell? Segundo, ¿existe algún tipo de conexión filosófica entre la paradoja de Russell y lo que se conoce como categorías ontológicas o semánticas? Por categorías ontológicas, me refiero a los sistemas de Aristóteles, Kant, et al. Por categorías semánticas I significa el análisis de los errores de categoría de Ryle, Sommers, et al.
En la teoría de conjuntos, la distinción sobre la que está preguntando se traduce en la pregunta de si el dominio de un modelo debe ser un conjunto o si se permite que sea una clase adecuada. Esta es una distinción importante que da lugar a muchos problemas sutiles. En muchos contextos matemáticos, estamos tentados a permitir una estructura cuyo dominio es una clase adecuada, y la pregunta es si esto es algo sensato.
El teorema de completitud de Gödel, por ejemplo, dice que una teoría de primer orden es consistente si y solo si tiene un modelo. En este teorema, se debe tomar el significado de "modelo" como un modelo cuyo dominio es un conjunto.
En una estructura de primer orden cuyo dominio es una clase propia, en general, en la axiomatización ZFC habitual de la teoría de conjuntos, no somos capaces de asumir la definición recursiva de la verdad de Tarski, y no es el caso de que todo modelo de clase propia tenga un predicado de satisfacción .
Por ejemplo, cuando Gödel probó la consistencia relativa del axioma de elección sobre ZF, construyó una estructura de clase adecuada L llamada universo construible y probó en ZF que cada axioma de ZFC se cumple en L. Pero esto es simplemente un esquema de teoremas, una afirmación sobre cada axioma de ZFC por separado y, en general, ni siquiera se puede formalizar la afirmación "L es un modelo de ZFC" como una sola afirmación.
Esta es parte de la razón por la cual el teorema es solo un resultado de consistencia relativa . Aunque Gödel construyó un modelo de ZFC, era un modelo de clase adecuado y esto no es suficiente para probar la consistencia de la teoría, ya que el teorema de completitud requiere un modelo conjunto de la teoría. Pero si tenemos un modelo conjunto de ZF, entonces podemos construir L en relación con ese modelo y, por lo tanto, obtener un modelo conjunto de ZFC. Entonces, lo que demostró es que si ZF es consistente, también lo es ZFC.
Mientras tanto, muchas aplicaciones de la teoría de categorías llevan a querer formar categorías de clase adecuadas, como la categoría de todos los grupos o la categoría de todos los órdenes parciales. Dado que uno quiere realizar un análisis teórico de categorías adicional además de esas categorías, conduce a cuestiones problemáticas similares a la paradoja de Russell. Para evitar este problema, los teóricos de categorías estratifican el universo en niveles, formando categorías pequeñas y grandes en analogía con la distinción conjunto/clase en la teoría de conjuntos. El axioma de los universos es una forma conveniente de afirmar que existen niveles suficientes para la mayor parte de este tipo de análisis. Este axioma es equivalente a la existencia de una clase adecuada de cardinales inaccesibles y, por lo tanto, es un axioma cardinal grande suave, un axioma fuerte de infinito.
Si tiene un sistema de lógica formal donde sus predicados pueden tomar otros predicados como argumentos, rápidamente conduce a paradojas del tipo como
Existe un hombre, tal que le corta el pelo a todos y sólo a los hombres que no se cortan el pelo a sí mismos.
(¿Se corta el pelo él mismo?)
Esto está estrechamente relacionado con la paradoja de Russell, que es el mismo problema en la teoría de conjuntos. Condujo al desarrollo de la lógica de primer orden, en la que el dominio de cualquier predicado no puede incluir funciones o predicados. El artículo de wikipedia sobre la paradoja de Barber entra en más detalles y tiene una interpretación lógica formal de la paradoja. http://en.wikipedia.org/wiki/Barber_paradoja
hunan rostomyan
dan d
kevin holmes