¿Por qué la lógica de primer orden es interesante para los filósofos?

En primer lugar, el hecho de que la relación de ancestro no pueda definirse en FOL no es en sí mismo una dificultad filosófica. Se relaciona principalmente con el tema de la consistencia y la integridad y sus contrapartes omega en dominios infinitos. Difícilmente significa que FOL es extremadamente limitado.

Su pregunta podría dividirse razonablemente en componentes separados.

1. ¿Por qué los filósofos están interesados ​​en la lógica?
2. ¿Por qué la lógica de predicados, en oposición a la teoría de tipos, el cálculo lambda, la teoría de categorías o alguna otra formulación?
3. ¿Por qué lógica de primer orden en lugar de lógica de segundo orden?
4. ¿Por qué la lógica clásica en oposición a las lógicas no clásicas?

#1. Los filósofos se han interesado por la lógica desde hace mucho tiempo: al menos desde Aristóteles. La lógica ayuda a afinar la formulación de un argumento, para que podamos ver con claridad exactamente lo que se está expresando. Ayuda a distinguir los argumentos válidos de los inválidos. Ayuda a dividir una prueba compleja en pasos individuales que son más obvios. Ayuda a identificar supuestos y premisas ocultas. Las extensiones modales de la lógica y la posible semántica del mundo que las acompaña han demostrado ser muy fructíferas en varias teorías filosóficas.

#2. Muchos sistemas de lógica realizan estas tareas más o menos bien, pero la lógica de predicados de primer orden alcanza una especie de punto óptimo en la historia de la lógica. Las lógicas anteriores a la invención de la lógica de predicados y la teoría de modelos eran demasiado débiles. Por otro lado, las lógicas que se desarrollaron más tarde en el siglo XX son más complejas y tal vez difíciles de entender para los estudiantes de filosofía.

#3. Algunos filósofos que usan la lógica sí usan SOL, pero nuevamente, es más difícil de entender y trae problemas adicionales. SOL no tiene un sistema de axiomas general para su semántica ni una teoría de prueba general. FOL tiene todo tipo de buenas propiedades que se enumeran en la pregunta que vinculó. Además, gran parte de lo que normalmente se expresa mediante SOL se puede manejar mediante la cuantificación plural.

#4. Los filósofos suelen estar más abiertos al uso de lógicas no clásicas que los matemáticos, según mi experiencia. Ha habido filósofos que abogan por lógicas particulares, como Michael Dummett con la lógica intuicionista, Stephen Read con la lógica de la relevancia y Graham Priest con la lógica dialética. También hay filósofos que adoptan un enfoque pluralista en el uso de la lógica. La aplicación de diferentes lógicas tiene interesantes consecuencias en la filosofía del lenguaje y en la metafísica.

Permítanme agregar a las respuestas existentes (muy buenas).

En primer lugar, hay una suposición implícita en su pregunta de que el interés filosófico proviene de la fuerza . Esto no está justificado, especialmente dada la compensación general entre fuerza y ​​mansedumbre . Las lógicas más débiles corresponden a tipos de argumentos más simples, y eso podría ser algo muy interesante en un contexto dado.

En segundo lugar, la lógica de primer orden no es tan débil como parece; más bien, es sensible al contexto . Por ejemplo, es cierto que si S es una estructura y R es una relación binaria en S que es definible de primer orden en S , la clausura transitiva R * de R no necesita ser definible de primer orden en S . Sin embargo, si en lugar de limitarnos a S mismo miramos lo que podemos decir con lógica de primer orden en todo el universo de teoría de conjuntos V en el que Svidas, definir clausuras transitivas es trivialmente fácil. El punto es que la lógica de primer orden, al no tener a priori herramientas demasiado poderosas, nos permite hacer un seguimiento de qué información estamos usando al definir un objeto: el contraste anterior demuestra en cierto sentido que definir cierres transitivos requiere información no trivial más allá de lo que la estructura debe proporcionarnos en general, y esto es algo interesante de notar.

Un par de comentarios rápidos sobre este punto:

• Compare la crítica de Quine (ya sea que lo compre o no) de la lógica de segundo orden como "teoría de conjuntos con piel de oveja", el punto es que la lógica de segundo orden podría decirse que se extiende fuera de la estructura dada en consideración en un grado inaceptable .

• Esto está relacionado con el papel de ZFC como sistema fundacional; Dije un poco sobre esto en una respuesta a una pregunta tuya en math.stackexchange . La idea de que la lógica de primer orden + ZFC funciona como una base para las matemáticas es una especie de tener y comer pastel simultáneamente: nos beneficiamos de la mansedumbre de FOL mientras que los axiomas de ZFC nos garantizan suficiente poder expresivo para lo que realmente queremos hacer.

Entonces, para resumir: la fuerza no es el final de todo, y la debilidad de la lógica de primer orden es solo una faceta de una historia más complicada. Más allá de esto, la lógica de primer orden tiene un interés adicional por sus propiedades más técnicas (compacidad, completitud, Lowenheim-Skolem, incompletitud, interpolación, ...) . También tiene algunas metapropiedades interesantes proporcionadas por el teorema de Lindstrom y sus variantes. Y ya sea que estos sean deseables o desafortunados, todos son ciertamente interesantes .

Finalmente, creo que la historia de la lógica de primer orden la motivará más como tema; hay mucho escrito sobre esto, pero el artículo de SEP es un buen punto de partida. Este artículo de Ferreiros también es una gran fuente, a pesar de que su objetivo general es motivar lógicas distintas a la lógica de primer orden. (Jose Ferreiros: The Road to Modern Logic - An Interpretation , The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 7, No. 4 (diciembre de 2001), pp. 441-484)

Existen ciertas limitaciones para FOL, particularmente el teorema de Lowenheim-Skolem, por lo que tenemos que usar HOL para modelos que son infinitamente infinitos porque usando un número infinitamente numerable de oraciones siempre podemos construir un modelo numerable. Para definiciones muy elementales en Matemáticas, como la propiedad del límite superior mínimo para números reales (o cortes de Dedekind), tenemos que usar lógica de segundo orden. La lógica de primer orden es suficiente para la mayor parte de la aritmética, pero la inducción matemática es de segundo orden (me viene a la mente la incompletud de los omegas), que usamos con frecuencia en la aritmética, que a su vez es equivalente al axioma de elección y al principio de buena ordenación (que los intuicionistas rechazan) .

Habiendo dicho eso, primero tenemos que abordar la pregunta de por qué cualquiera de nosotros debería estar interesado en cualquier Lógica Simbólica. Muchos matemáticos profesionales tampoco encuentran interesante o útil la lógica simbólica. La mayoría de las veces usamos un metalenguaje para explicar cómo existe una prueba en el lenguaje objeto mediante teoremas metalógicos útiles y reglas de deducción subsidiarias (Definido en Kleene, Stephen (1980). Introducción a las metamatemáticas. Holanda Septentrional. pp. 102– 106. ISBN 9780720421033).

La razón principal por la que desarrollamos la lógica simbólica fue para concentrarnos en la sintaxis y no considerar la semántica en absoluto, hacer una derivación mecánica de símbolos y, sin embargo, poder razonar correctamente, a saber. solvencia. Se podría argumentar que la motivación para desarrollar la lógica simbólica fue permitir que una máquina de Turing razonara por nosotros. David Hilbert ya había demostrado que en Geometría plana (Euclides) no es necesario comprender lo que significa un punto o una línea, pero sí ser capaz de demostrar teoremas correctos simplemente mediante la manipulación sintáctica.

La lógica de primer orden es filosóficamente interesante cuando se trata de comprender los límites de las máquinas de Turing frente a la cognición humana, porque exhibe tanto solidez como integridad. Ha habido mucha especulación sobre este problema, incluso por parte del mismo Kurt Godel, quien dio la disyunción de que o la mente es una máquina o existen infinitas ecuaciones diofánticas que no pueden resolverse, como corolario de la incompletud omega de FOL. También es útil cuando está discutiendo o revisando argumentos. La respuesta corta es que, a pesar de sus limitaciones, FOL es útil. Somos perfectamente conscientes de sus limitaciones, y también somos conscientes de que si queremos eludir sus limitaciones, debemos sacrificar la solidez y la integridad. Cada vez que un cierto argumento es efable en FOL o en lógica proposicional, uno debe ir con eso, porque es mucho más fiable. Personalmente pienso, como opinó Poincaré, que la lógica es buena para verificar cosas, pero no es útil para crear cosas nuevas. Puede haber diferencias de opiniones, pero ya sabemos que 3-SAT es NP-completo, por lo que debemos desearnos suerte para obtener declaraciones semánticamente verdaderas usando una computadora. En cuanto a la relación de "ancestro" en la definición de FOL, no lo veo como un problema. Lo que puedo decir es simplemente usar FOL y el teorema de compacidad de que ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, que creo que fue lo que argumentó Leibniz tanto en su cálculo como en su monadología, pero que no pudo probar. Una de las consecuencias de este resultado es que ahora el filósofo y el físico teórico tienen que considerar infinitesimales en su ciencia, metafísica y patafísica. como Poincaré opinó que la lógica es buena para verificar cosas, pero no es útil para crear cosas nuevas. Puede haber diferencias de opiniones, pero ya sabemos que 3-SAT es NP-completo, por lo que debemos desearnos suerte para obtener declaraciones semánticamente verdaderas usando una computadora. En cuanto a la relación de "ancestro" en la definición de FOL, no lo veo como un problema. Lo que puedo decir es simplemente usar FOL y el teorema de compacidad de que ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, que creo que fue lo que argumentó Leibniz tanto en su cálculo como en su monadología, pero que no pudo probar. Una de las consecuencias de este resultado es que ahora el filósofo y el físico teórico tienen que considerar infinitesimales en su ciencia, metafísica y patafísica. como Poincaré opinó que la lógica es buena para verificar cosas, pero no es útil para crear cosas nuevas. Puede haber diferencias de opiniones, pero ya sabemos que 3-SAT es NP-completo, por lo que debemos desearnos suerte para obtener declaraciones semánticamente verdaderas usando una computadora. En cuanto a la relación de "ancestro" en la definición de FOL, no lo veo como un problema. Lo que puedo decir es simplemente usar FOL y el teorema de compacidad de que ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, que creo que fue lo que argumentó Leibniz tanto en su cálculo como en su monadología, pero que no pudo probar. Una de las consecuencias de este resultado es que ahora el filósofo y el físico teórico tienen que considerar infinitesimales en su ciencia, metafísica y patafísica. Puede haber diferencias de opiniones, pero ya sabemos que 3-SAT es NP-completo, por lo que debemos desearnos suerte para obtener declaraciones semánticamente verdaderas usando una computadora. En cuanto a la relación de "ancestro" en la definición de FOL, no lo veo como un problema. Lo que puedo decir es simplemente usar FOL y el teorema de compacidad de que ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, que creo que fue lo que argumentó Leibniz tanto en su cálculo como en su monadología, pero que no pudo probar. 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En conclusión, los filósofos están interesados ​​en FOL porque ha habido resultados positivos en su estudio por parte de filósofos, teóricos del modelo, teóricos de la demostración, etc. Hay algunas verdades, dado que hemos definido nuestra semántica, podemos mostrar de manera concluyente cuáles siguen siendo dudosas en cualquier metalenguaje. Está vivo y todavía hay cosas que entender e interpretar al respecto.

Respuesta corta

FOL es un modelo simple de razonamiento humano y, al igual que los modelos simples en general, es una ayuda pedagógica para presentar a los estudiantes los aspectos formales de la lógica sin ser difícil de manejar ni demasiado complicado. Uno, después de todo, podría argumentar, por qué enseñar muchas lógicas formales, ya que son claramente un aspecto limitado de la razón humana misma que es en gran parte rebatible y usa lenguaje natural .

Respuesta larga

Su pregunta se refiere a múltiples aspectos de la filosofía, incluidos los aspectos pedagógicos, históricos y técnicos de la lógica. Comencemos con una simple pregunta:

¿Por qué enseñar a un niño a contar, cuando claramente la ingeniería requiere un uso saludable de las matemáticas superiores?

En este sentido, es obvio por qué se enseña FOL dadas sus limitaciones inherentes para describir la razón humana. Para empezar, ¿cómo se puede enseñar SOL si no se entiende FOL? Entonces, en su idioma original, no es una cuestión de interés, sino de utilidad. Cualquier sistema formal cuando se encuentra por primera vez puede parecer interesante y luego perder el interés una vez que se domina (y se enseña a los estudiantes universitarios repetidamente). Pero es mucho, de la misma manera, la mayoría de nosotros, gente inclinada a las matemáticas, no disfrutamos del conteo y la aritmética, es absolutamente un bloque de construcción teórico y práctico vital para evaluar la cardinalidad de conjuntos infinitos, determinar los lugares geométricos de intersección en la topología, y evaluar la monotonicidad de series infinitas.

Hay un punto de vista de que los temas de investigación salen del ámbito de la filosofía y entran en el ámbito de la ciencia cuando se codifican, estandarizan, comprenden bien y son confiables. Por el contrario, los temas filosóficos en vivo son especulativos, abiertos, vagamente entendidos y controvertidos, casi por definición. En otras palabras, los filósofos inventan las ciencias, en general no las practican.

Dado que la lógica formal moderna es posiblemente la ciencia importante más joven que ha nacido directamente de la filosofía, podríamos decir que un sistema lógico bien entendido como FOL tiene un interés filosófico decreciente precisamente por las mismas razones por las que ha demostrado ser tan valioso en campos como como matemáticas e informática.

La lógica todavía se considera a menudo como un tema filosófico, porque fue parte del ámbito filosófico durante mucho tiempo y ha sido una ciencia durante un tiempo relativamente corto. Pero la mayor parte del trabajo filosófico real ahora se está haciendo en las lógicas menos estandarizadas.