¿Quién tuvo por primera vez la idea de estudiar superficies a través de anillos de funciones, como en la geometría algebraica?

Una referencia canónica sobre esto es la Historia de la geometría algebraica de Dieudonne . Una versión abreviada de Desarrollo histórico de la geometría algebraica está disponible gratuitamente, vea también las diapositivas de Easton .

Permítanme hacer un comentario general primero. Cuando nos preguntamos "¿cómo fue que alguien conectó por primera vez estas dos [ideas modernas]?" presuponemos tácitamente que siempre estuvieron disponibles por separado, esperando ser conectados. Pero la verdad a menudo es que se desarrollaron conectadosel uno al otro De hecho, Riemann jugó un papel decisivo en la creación del marco algebro-geométrico moderno, pero no tuvo la idea de estudiar superficies a través de anillos de funciones por la sencilla razón de que en su época el concepto (general) de superficies de Riemann, y mucho menos de anillos de funciones , no existió. Estaba estudiando integrales abelianas, esto lo llevó a considerar superficies sobre las cuales se definen funciones holomorfas y meromórficas, como las integrales abelianas. Y cuando Kronecker y Dedekind-Weber desarrollaron los conceptos algebraicos adecuados, ya tenían la conexión expuesta en el trabajo de Riemann. Así que nadie tuvo esa idea primero.

Aquí hay algunos detalles descritos por Dieudonne:

" Es toda una paradoja que en la obra de este prodigioso genio, del que surge la geometría algebraica enteramente regenerada, casi no se mencione la curva algebraica, es a partir de su teoría de las funciones algebraicas y sus integrales que surge toda la geometría birracional " . de los temas del siglo XIX y principios del XX.

[...] En lugar de partir (como lo harían todos sus predecesores y la mayoría de sus sucesores inmediatos) de una ecuación algebraica$F(s, z) = 0$y la superficie de Riemann de la función algebraica$s$de$z$que define, su objeto inicial es un$n$-Superficie de Riemann laminada sin límite y con un número finito de puntos de ramificación, dada a priori sin ninguna referencia a una ecuación algebraica... Así, la superficie de Riemann abstracta$S$es, de hecho, idéntica a la de la función algebraica$s(z)$definido por$F(s, z) = 0$, y Riemann le agrega lo que, después de la época de Dedekind, se llamará el campo de funciones meromórficas (o racionales) en$S$. [énfasis de Dieudonne]

Las ideas de Riemann fueron absorbidas en dos artículos fundacionales de 1882, por Kronecker ( Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, Crelle's journal, 92, 1–122 ) y Dedekind-Weber ( Journal für die reine und angewandte Mathematik, 92, 181-290 ) :

" La primera tarea a la que se dirigió cada escuela de geometría algebraica fue, por tanto, la sistematización de la teoría birracional de las curvas planas algebraicas, incorporando la mayoría de los resultados de Riemann con demostraciones conformes a los principios de la escuela... tal como Riemann había revelado la estrecha relación entre las variedades algebraicas y la teoría de las variedades complejas, Kronecker y Dedekind-Weber sacaron a la luz por primera vez las profundas similitudes entre la geometría algebraica y la floreciente teoría de los números algebraicos... esta concepción de la geometría algebraica es para nosotros la más clara y el más simple, debido a nuestra familiaridad con el álgebra abstracta " .

Kronecker comenzó definiendo variedades en términos de anillos de polinomios que se desvanecen en ellos, y desarrolló las nociones de subvariedad y dimensión en términos de ideales (a los que llamó Modulsystems ).

" El objetivo de Dedekind y Weber en su artículo fundamental era bastante diferente y mucho más limitado; a saber, dieron pruebas puramente algebraicas para todos los resultados algebraicos de Riemann. Parten del hecho de que, para Riemann, una clase de superficies isomorfas de Riemann corresponde a un campo$K$de funciones racionales, que es una extensión finita del campo$C(X)$de fracciones racionales en un indeterminado sobre el campo complejo; lo que se propusieron hacer, por el contrario, si una extensión finita$K$en el campo$C(X)$se da de forma abstracta , es reconstruir una superficie de Riemann$S$tal que$K$será isomorfo al campo de funciones racionales en$S$.

La idea suele atribuirse a Dedekind y Weber en Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882): [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...].

No creo que fuera Riemann, o que Riemann supiera que cualquier anillo de funciones determina la superficie. De hecho, Riemann estudió superficies compactas en las que el anillo de funciones regulares es trivial y, en cambio, estudió el campo de las funciones meromórficas.

La idea de que un anillo de funciones determina el espacio es de origen muy posterior. Se puede rastrear hasta la teoría de Gelfand de las álgebras conmutativas de Banach, y fue llevada a la geometría algebraica por Grothendieck.