¿Hay alguna razón por la que el espín de las partículas sea entero o medio entero en lugar de, por ejemplo, par e impar?

El "giro" nos dice cómo cambia la función de onda cuando rotamos el espacio (o el espacio-tiempo). Solo porque doblo todas las cargas por convención, el comportamiento de la función de onda no será diferente. Lo que sucederá es que la "duplicación" o las cargas conducirán a la "reducción a la mitad" de su definición de ángulos, de modo que los resultados físicos (que dependen del ángulo multiplicado por el giro) sigan siendo los mismos.

escritura la observación de funciones "impares" y "pares" -- eso no es un accidente y funciona como usted cree que lo hace.

El quid de la cuestión es que una "rotación completa" corresponde a$2 \pi$por lo que la fase recogida por un giro$\frac{1}{2}$la función de onda es$e^{i \pi} = -1$.

Recuerde que (incluso en la mecánica clásica) el "momento angular" es el generador de rotaciones. Entonces, si empiezo a usar diferentes unidades, por ejemplo:$\tau \equiv 2 \pi$para representar una media rotación (en lugar de$\pi$) entonces los valores de carga se reducirán a la mitad para mantener el valor de$e^{i q \theta}$

Si entiendes algo de teoría de la representación, aquí va:

1. Representaciones de$SO(3)$tienen cargas enteras. Como nos referimos al grupo de rotaciones, llamamos a esa carga "momento angular" o "giro". Las representaciones corresponden a escalares (espín 0), vectores (espín 1) y tensores (en general de espín 2 o superior).

2. $SU(2)$es una "doble portada" de$SO(3)$por lo que las representaciones de$SU(2)$puede tener los "cargos" como$SO(3)$representaciones. Por lo tanto, también obtenemos un espín medio entero. Las nuevas representaciones corresponden a espinores.

3. Cuando consideramos la física relativista cuántica (también conocida como QFT), todos los campos/partículas físicas deben formar repeticiones kosher del álgebra de Lorentz, que resulta ser$so(3,1) \sim so(4) = su(2) \oplus su(2)$. Entonces (hasta el "truco unitario") las repeticiones del grupo de Lorentz se pueden escribir como un producto tensorial de las repeticiones de la izquierda y la derecha.$SU(2)$álgebras. Según el n. ° 2 anterior, estos continúan teniendo un giro de entero o medio entero.

Me gustaría señalar que la respuesta aceptada no es correcta, no hay necesidad de reducir a la mitad los ángulos físicos.

En el lenguaje de la teoría de la representación, las álgebras de Lie$\mathfrak{su}(2)$y$\mathfrak{so}(3)$de rotaciones infinitesimales son isomorfas y tienen las mismas representaciones indexadas por un número entero$m=2j\in\mathbb{Z}$, dónde$j$es el giro. El problema es que, como$\text{SO}(3)$no está simplemente conectado, no todas las representaciones de su álgebra de Lie dan lugar a representaciones de sí mismo.

Incluso para$m$(giros enteros), estos se exponen a representaciones de ambos$\text{SU}(2)$y$\text{SO}(3)$. Sin embargo, por extraño$m$(giros de medio entero), no existe tal representación común, por lo que debemos ceñirnos a la representación del primer grupo. Así que en este caso nos vemos obligados a exponenciar las representaciones de$\mathfrak{su}(2)$y llamarlos "rotaciones".

Sin embargo, desde$\text{SU}(2)$es una doble cubierta de$\text{SO}(3)$,$\pm e\in \text{SU}(2)$ambos corresponden bajo proyección a$e\in \text{SO}(3)$, por lo que en términos generales una rotación por$\pi$a través de$\text{SU}(2)$(que resulta en una fase$\exp i\pi=-1$sobre los vectores de la representación) es una rotación física de$1=\exp i2\pi\in \text{SO}(3)$. Así que la moraleja es que a pesar de esta identificación debemos recordar que no es$\text{SO}(3)$haciendo las rotaciones, sino más bien su doble tapa$\text{SU}(2)$, y es por eso que los ángulos se reducen a la mitad, sin importar si usamos un número impar$m$o un medio entero$j$para identificar el giro.

Usted puede preguntarse qué sucede incluso para$m$, ya que este argumento también debería aplicarse. En este caso, las representaciones no son fieles, es decir, no uno a uno, por lo que$-1\in \text{SU}(2)$actuando sobre un espacio vectorial$V$en realidad está dada por$1\in\text{End}(V)$y por eso también son representaciones de$\text{SO}(3)$: la identificación de la acción de cada grupo es automática. Todo el quid de la cuestión es que para extraño$m$, las representaciones de$\text{SU}(2)$ son fieles

Diría que es porque, en esencia, la mecánica cuántica es el estudio de las transiciones atómicas , y se debe inferir el conocimiento de los estados internos. Lo que vemos desde esa perspectiva es que todas las transiciones de momento angular son múltiplos enteros de$\hbar$, y con bastante frecuencia son exactamente$\hbar$. Hay conjuntos de estados relacionados en algunos átomos que se agrupan en singletes, tripletes, quintillizos, etc., y estados relacionados en otros átomos que se agrupan en dobletes, cuatrillizos, sextillizos, etc. En ocasiones, los átomos completos pueden tener un momento angular cero, mientras que los átomos pares nunca pueden tener un momento angular cero. Pasos enteros entre valores semienteros es una forma muy clara de lograr esto; Creo que dividir$\hbar$nuevamente, de modo que la transición más pequeña fuera "dos cuantos de espín" haría que la separación entre estos dos sistemas fuera mucho más confusa.

Hay un hermoso libro de Tomonaga llamado The Story of Spin donde toma tres reglas contrapuestas para asignar números cuánticos a estados de momento angular atómico de los primeros días de la mecánica cuántica, de Sommerfeld, Landé y Pauli. Tomonaga presenta los tres modelos al pie de la letra. Cada uno de ellos tiene su propia consistencia interna. Usamos el modelo de Sommerfeld, donde un estado con multiplicidad$n$tiene momento angular$j=\frac{n-1}{2}$. Landé usó un número cuántico suplementario$R=\frac n2$, que cambia los lugares de espín entero y medio entero desde el punto de vista estadístico, pero por medio de algunas reglas de selección diferentes podría recuperar la misma física. Decidir por mí mismo cuál de los tres modelos prefería y luego convencerme de que no era solo que ya había invertido mucho en el enfoque de Sommerfeld, fue un ejercicio intelectual muy valioso. Ninguno de los tres tiene solo números cuánticos enteros para sistemas con espín; Supongo que los números cuánticos enteros para sistemas con momento angular orbital ya estaban demasiado bien establecidos cuando se descubrió el espín.

Esto es necesario solo en el mundo 3D, ¡el mundo 2D es más rico!

El espín de una partícula tiene relación con sus estadísticas (teorema de las estadísticas de espín). Es decir, la evolución cuántica del intercambio de dos partículas idénticas da una idea del giro intrínseco de esas partículas. Esta acción de intercambio depende únicamente de la topología de los caminos de intercambio (ver Leinaas & Myrheim 1977 ). Curiosamente, la topología de intercambio de caminos de dos partículas indistinguibles en 3D es equivalente al grupo de permutación que implica solo estadísticas fermiónicas o bosónicas (espín n/2 y n). Por otro lado, en 2D, la topología de intercambiar dos partículas idénticas no requiere ninguna restricción en las estadísticas de las partículas, lo que implica giros arbitrarios (no solo$1/2$pero también$1/3$,$\sqrt{2}$..)

Como se puede leer en el primer comentario, puede asignar el valor uno para girar medias partículas (como el valor está en el acuerdo actual). Sin embargo, debe cambiar todos los giros de partículas elementales en consecuencia. Quiero decir, el giro uno debe ser el giro dos en ese caso, y el giro dos tiene que ser el giro cuatro.

Creo que asignar el valor$\frac{1}{2}$, hace más clara la distinción entre campos de materia y campos de fuerza. Los campos de materia inherentemente llevan un giro$\frac{1}{2}$(o$\frac{1}{2}+n$, aunque las partículas para las cuales$n$es diferente de cero no se sabe que exista), mientras que los campos de fuerza tienen un giro de$!$o$2$(de nuevo, en teoría, cualquier giro con un valor entero,$n$, pero solo el giro$1$y girar$2$son conocidos). Tan pronto como vea que el espín de una partícula es un número entero, sabrá que es una partícula portadora de fuerza. Y lo mismo vale para girar$\frac{1}{2}+n$-partículas.

Además de eso, tendría que hacer bastantes adaptaciones en los dispositivos de medición (reescribir valores).