¿Hay alguna razón por la cual los operadores a menudo se escriben como exponenciales en óptica cuántica?

No estoy familiarizado con la óptica cuántica, pero desde una perspectiva matemática más general, propondría lo siguiente: si la expresión exponencial es más compacta que otras alternativas, entonces motivado por la parsimonia notacional, tal vez una pregunta más natural sería "cuándo ¿Podemos salirnos con la nuestra usando la forma exponencial?" Esto es análogo a preferir escribir$\sin\theta$y usar sus propiedades algebraicas para evitar expandirlo en una serie de potencias para realizar cálculos.

Hay muchos datos sobre operadores exponenciales, además de algunas sutilezas matemáticas que los físicos tienden a ignorar, que lo hacen posible en muchos contextos:

1. Dejar$O$sea ​​un operador lineal, y sea$|\lambda\rangle$ser un vector propio de$O$correspondiente al valor propio$\lambda$, entonces$|\lambda\rangle$es un vector propio de$e^O$con valor propio correspondiente$e^\lambda$:

   $$\begin{align} e^{O}|\lambda\rangle &= \sum_{k=0}^\infty \frac{O^k}{k!}|\lambda\rangle = \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}|\lambda\rangle = e^\lambda|\lambda\rangle \end{align}$$

   De hecho, de manera más general, bajo las hipótesis de la observación, si$f$es cualquier función analítica, entonces$|\lambda\rangle$será un vector propio de$f(O)$con valor propio$f(\lambda)$.

2. Propiedades algebraicas básicas del operador exponencial:

3. La fórmula BCH y sus primas , especialmente este lema sobre los adjuntos.

Si dos operadores son iguales,$A=B$, entonces no hay nada de malo en usar cualquier forma para el mismo objeto. Teniendo esto en cuenta, la elección de la forma obedece a una amplia gama de razones según el contexto y lo que se quiera expresar, aunque en general se prima mucho la compacidad notacional y la claridad conceptual.

Entonces, en ese sentido, aquí hay algunos puntos relevantes a considerar:

• En casi todos los casos, la forma exponencial es más compacta y usa menos tinta. Eso, por sí mismo, ya lo pone un paso adelante de cualquier formulación alternativa.
• Los exponenciales de los operadores antihermitianos son inmediatamente reconocibles como unitarios. Esto definitivamente está en juego en el ejemplo que mencionas: la forma$\hat U=\exp(i\alpha \hat P)$es obviamente unitario, donde por otro lado$\hat U = 1+\hat P(e^{i\alpha}-1)$puede verse como unitario a través de un cálculo fácil pero no obvio (es decir, no puedes hacerlo en tu cabeza sin perder completamente el hilo de lo que estaba hablando el papel).

• Las exponenciales imaginarias ofrecen más claridad conceptual en el sentido de que son inmediatamente reconocibles como operadores de rotación. Como ejemplo, si$\hat \sigma$es una involución (es decir$\hat \sigma^2=1$, incluyendo todas las matrices de Pauli) entonces

  $$e^{i\theta \hat \sigma} = \cos(\theta) + i \hat\sigma\sin(\theta),$$ pero el primero hace la rotación (digamos, en la esfera de Bloch, alrededor del eje propio de$\hat \sigma$) evidente, mientras que el último es mucho más oscuro.

  En ese sentido, los operadores exponenciales actúan más bien como funciones especiales que, como dijo memorablemente Michael Berry , "consagran conjuntos de patrones reconocibles y comunicables y, por lo tanto, constituyen una moneda común". Al expresar un operador como exponencial, no solo está dando una especificación de qué operador está hablando; también está haciendo una declaración significativa sobre cómo está pensando en ese operador.

• Las formas divididas no son necesariamente más fáciles de calcular y conceptualizar y, a menudo, serán más difíciles (o más difíciles de manejar en el marco conceptual en el que opera el texto). Este es particularmente el caso si ya está operando sobre una base propia del operador$\hat A$siendo exponenciado: si ya está trabajando sobre la base de estados propios$\hat A|a\rangle = a|a\rangle$, entonces la exponencial

  $$e^{i\theta \hat A}|a\rangle = e^{i\theta a}|a\rangle$$ es solo el número dependiente del vector base$e^{i\theta a}$.

  Esto está en juego en el sistema unitario de cambio de fase controlado.

  $$U_\mathrm{CPF} = e^{i\pi |0⟩⟨0| \otimes |h⟩⟨h|}$$ en el ejemplo que mencionas: esto se analiza fácilmente como$1$si el qubit de control está activado$|1⟩$, y como el operador$e^{i\pi|h⟩⟨h|}$si el qubit de control está activado$|1⟩$; además, también se ve directamente como el cambio de fase$-1=e^{i\pi}$para el qubit de destino en el estado$|h⟩$y como unidad en su complemento ortogonal$|\bar h⟩$.