¿Por qué el nombre de operador de 'desplazamiento'?

Estoy estudiando estados coherentes del oscilador armónico y he aprendido sobre el llamado operador de desplazamiento , que es el operador definido como

D ( α ) = mi α a † − α ∗ a
cuya acción sobre el estado fundamental | 0 ⟩ es producir un estado coherente | α ⟩ . Ahora bien, ¿por qué se llama operador de desplazamiento ? ¿En qué sentido desplaza al Estado? | 0 ⟩ ?

Respuestas (1)

Un estado coherente se caracteriza por un número complejo α ∈ C . Aplicando el operador de desplazamiento D ( β ) a | α ⟩ traduce α en el plano complejo por β , en el siguiente sentido:

(1) D ( β ) | α ⟩ ∼ | α + β ⟩ .

Aquí, ∼ significa "hasta una fase". La relación precisa es:

(2) D ( β ) D ( α ) = mi ( β α ∗ − β ∗ α ) / 2 D ( α + β ) ,
el exponencial es solo un factor de fase.

Nota 1: (1) se sigue de (2) porque | α ⟩ = D ( α ) | 0 ⟩ - multiplicar (2) desde la derecha con | 0 ⟩ para obtener (1).

Nota 2: Eso también tiene sentido para el estado fundamental | 0 ⟩ , porque es igual al estado coherente con α = 0 :

D ( α ) | 0 ⟩ = | 0 + α ⟩ .

Además, si observa las distribuciones de cuasi-probabilidad en el espacio de fase (por ejemplo, la función de Wigner), simplemente se desplazan por el operador de desplazamiento, sin importar cuál sea el estado inicial. Otra forma de verlo es que el operador de desplazamiento cambia los valores promedio de las cuadraturas, pero no cambia los momentos de orden superior.
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