truncamiento antes de matriz exponencial: ¿cómo hacerlo bien?

Encontré la respuesta, al menos para algunos de los casos que pensé que eran intratables, incluidos mis ejemplos. La herramienta principal es el teorema de desenredado para el grupo relevante.

Ejemplo 1 : la transformación está en$SU(2)$, entonces necesitamos el$SU(2)$teorema de desenredo:

$$\exp(z J_+-z^* J_-) = \exp(\tau_+ J_+)\exp(\tau_ 0J_0)\exp(\tau_-J_-)$$ Aquí $\{J_0,J_\pm\}$satisfacer el $su(2)$relaciones algebraicas: $[J_\pm,J_0]=\mp J_\pm,\ [J_-,J_+]=-2J_0$, y si $z=re^{i\phi}$, entonces $\tau_\pm=\pm e^{\pm i\phi}\tan(r),\tau_0=2\log\sec(r)$. Si aplicamos esto a la transformación del divisor de haz en la forma $U(\theta)=\exp[\theta(a^\dagger b-ab^\dagger)]$, obtenemos $$U(\theta) = \exp(\tan(\theta)a^\dagger b)\exp[\log\sec(\theta)(a^\dagger a-b^\dagger b)]\exp(-\tan(\theta)a b^\dagger)$$ que no tiene problemas de truncamiento.

Ejemplo 2 : la transformación está en$SU(1,1)$, entonces necesitamos el$SU(1,1)$teorema de desenredo:

$$\exp(z K_+-z^* K_-) = \exp(\sigma_+ K_+)\exp(\sigma_0K_0)\exp(\sigma_-K_-)$$ Aquí $\{K_0,K_\pm\}$satisfacer el $su(1,1)$relaciones algebraicas: $[K_\pm,K_0]=\mp K_\pm,\ [K_-,K_+]=2K_0$, y si $z=re^{i\phi}$, entonces $\sigma_\pm=\pm e^{\pm i\phi}\tanh(r),\sigma_0=-2\log\cosh(r)$. Si aplicamos esto al operador de compresión $S(z)=\exp[z \frac{{a^\dagger}^2}{2}-z^* \frac{{a}^2}{2}]$, obtenemos $$S(z) = \exp\left(e^{i\phi}\tanh(|z|)\frac{{a^\dagger}^2}{2}\right)\exp\left(-\log\cosh(|z|)(a^\dagger a+\frac{1}{2})\right)\exp\left(-e^{-i\phi}\tanh(|z|)\frac{{a}^2}{2}\right)$$ que no tiene problemas de truncamiento.

Caso general : en general, puede ser imposible tener un teorema de desenredado adecuado, pero resultados como este pueden ayudar a aproximarlo (consulte la ecuación (30)-(35) para los dos ejemplos anteriores).

Espero que esto ayude a aquellos que se tropiecen con mi mismo problema.

Como cuestión práctica, esto es algo en lo que espera que la exponenciación converja a medida que crece el tamaño de la entrada truncada. Entonces, sin saber nada sobre el problema en cuestión, me gustaría

1. encontrar el tamaño deseado de la matriz de respuesta (digamos,$n\times n$),
2. truncar la matriz de entrada al doble de ese tamaño ($2n \times 2n$) y calcular la exponencial,
3. calcular el exponencial de nuevo en uno más grande ($[2n+1]\times[2n+1]$),
4. ver si el$n\times n$matriz ha convergido a la precisión numérica deseada, si lo ha hecho, terminar, si no, duplicar de nuevo, etc.

Idealmente, como mencionó @Adam en un comentario, encontraría los vectores propios y los valores propios del operador/matriz en cuestión para hacer el cálculo. Examinar ese enfoque es instructivo para determinar si el algoritmo anterior puede converger. Si la expresión del operador original es:

$$A_{ij} = \sum_{k} V_{ki}^\star \lambda_k V_{kj},$$ entonces la exponencial es: $$[\exp(A)]_{ij} = \sum_{k} V_{ki}^\star \mathrm{e}^{\lambda_k} V_{kj}.$$

La convergencia de la segunda expresión requiere que los vectores propios no mezclen demasiado los estados, de lo contrario la suma divergirá. Por ejemplo, si los valores propios crecen linealmente con$k$entonces los vectores propios tienen que caer más rápido que exponencialmente en$i-k$. En el caso ideal, cada vector propio tendrá un número finito de componentes, lo que garantiza la convergencia, pero puede que no siempre sea así.

Si una matriz$A$no es diagonal o en la forma normal de Jordan, entonces tienes que truncar la exponencial$B=e^A$después de calcularlo, y no solo truncar la matriz$A$y luego calcular$B$. Esto se debe a que los elementos de la matriz$A_{nm}$,$n,m>N$, que descuidas al truncar$A$a$N\times N$, están contribuyendo a los elementos de la matriz$B_{nm}$,$n,m\leq N$, como se puede ver al expandir$B=I+A+\frac{1}{2}A^2+\cdots$. las contribuciones a$B_{nm}$,$n,m\leq N$, de$A^2$etc. que descuidas al truncar$A$a$N\times N$, son$\displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty} A_{nk}A_{km}$, etc., que en general no son cero. Lo que puede hacer es tratar de calcular explícitamente los elementos de la matriz$\langle n|B|m\rangle$en base Fock, hasta$N$. Sin embargo, esto no es práctico y se puede hacer en casos limitados, por ejemplo, para el operador de desplazamiento$D(\alpha)=\text{exp}(\alpha \hat{a}^{\dagger}-\alpha^* \hat{a})$:

$$\langle n|D(\alpha)|m\rangle=(n!/m!)^{1/2} \alpha^{m-n} e^{-|\alpha|^2/2} L_n^{(n-m)}(|\alpha|^2),$$ dónde $L$son polinomios de Laguerre asociados (ver Glauber). Desafortunadamente para el operador de compresión $S(\xi)$, $\xi=r e^{i\theta}$, puede calcular fácilmente solo la primera columna y fila, usando $$\langle 2n| S(\xi)|0\rangle=\frac{(-\tanh r)^n}{\sqrt{\cosh r}}\frac{\sqrt{(2n)!}}{2^n n!}e^{i n \theta},$$ $$\langle 2n+1| S(\xi)|0\rangle=0$$ para $n=0,..., N$.