¿Relación entre representaciones de operadores de bosones?

Su representación no estándar no produce una teoría canónica de buen comportamiento.

La forma más evidente y directa de afrontarlo, salvo comentarios teóricos basados ​​en la ausencia de hipótesis rigurosas suficientes para aplicar algún teorema (Stone von Neumann, Nelson, FS^3, Dixmier...), es la siguiente.

Para construir una representación de su teoría bosónica (a) tiene que construir el conjunto ortonormal de estados de números de ocupación $\{|n\rangle\}_{n=0,1,2,\ldots}$y (b) tienes que probar que este conjunto es completo (es decir, máximo) ($^*$).

Por definición, donde$C_n \neq 0$es un coeficiente de normalización:

$$|n\rangle := C_n(b^\dagger)^n|0\rangle \qquad (1)$$ con: $$b|0\rangle =0\quad\mbox{and}\quad \langle 0|0\rangle =1\:.\qquad (2)$$ La primera ecuación en (2), haciendo explícita la forma del operador $b$en el espacio de Hilbert de la teoría, $L^2(\mathbb R)$, y escribiendo la ecuación usando la función de onda $\psi_0$de $|0\rangle$en representación de posición, dice: $$\sqrt{x}\psi_0(x+1)=0 \quad \mbox{(almost everywhere)}\:,\qquad (3)$$ donde he explotado el hecho de que $\{e^{-i\lambda P}\}_{\lambda \in \mathbb R}$es la representación unitaria del grupo de $x$-traducciones.

El único$L^2$la solución de (3) es trivialmente:

$$\psi_0(x) = 0 \quad \mbox{almost everywhere.}$$ En consecuencia, la última condición en (2) es insostenible y toda la construcción aborta aquí.

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notas al pie

$(^*)$Técnicamente hablando, estos vectores son, en consecuencia, vectores analíticos para todos los operadores involucrados y esto es una garantía para la validez de varias propiedades cruciales, como esencialmente la autoadjunción de las nuevas variables canónicas.

Solo hay una representación unitaria para el álgebra de operadores bosónicos. Dado un conjunto de operadores de creación y aniquilación,

$$[b,b^\dagger] = 1,$$

puede definir un conjunto de operadores canónicos de posición y momento,

$$[Q,P] = iC,\quad [C,P] = [C,Q] = 0.$$

que se conoce como álgebra de Heisenberg.$C$es el centro de esta álgebra. Solo hay una representación unitaria para el álgebra de Heisenberg (teorema de Stone-von Neumann).

En cuanto a la "nueva representación" que mencionaste, esos ($P'$y$Q'$) son solo variables de ángulo de acción.$Q'$en la "nueva representación" es la amplitud de la oscilación, mientras que$P'$es aproximadamente el ángulo de fase. Más específicamente (establecer$\alpha=1$),

$$Q = \sqrt{2Q'}\cos(P');\quad P = \sqrt{2Q'}\sin(P').$$

$P'$y$Q'$son las "nuevas" variables. También forman un par conjugado canónico. Puede verificar esto tanto para osciladores clásicos como cuánticos.

Sí, sus excitaciones b son conocidas: son estados coherentes modificados , basados ​​en el operador de desplazamiento del espacio de fase óptica.

Para simplificar, tome α = 2, de modo que

$$Q=\frac{a+a^\dagger}{2}, \qquad iP=a-a^\dagger,$$ y por lo tanto $$b=\sqrt{\frac{a+a^\dagger}{2}} e^{a- a^\dagger}= \sqrt{\frac{a+a^\dagger}{2}} D^\dagger(1),\\ b^\dagger= e^{a^\dagger -a} \sqrt{\frac{a+a^\dagger}{2}} =D(1)\sqrt{\frac{a+a^\dagger}{2}} ~,$$ donde el operador de desplazamiento se define como $D(1)= e^{a^\dagger -a}$.

Entonces, evidentemente,

$$[b,b^\dagger]=\frac{a+a^\dagger}{2} - D(1)\frac{a+a^\dagger}{2}D^\dagger(1)=1 ~.$$ Actuando sobre el vacío de Fock aniquilado por un α diferente al anterior, los operadores de desplazamiento definen el estado coherente $D(\alpha=1)|0\rangle=|\alpha=1\rangle$, el estado propio del operador de aniquilación, pero no estoy seguro de la deriva del resto de su pregunta.

Ligeras modificaciones de estos mapas son populares en álgebras de osciladores deformados , sección 4.g).