¿Hay alguna forma de justificar la teoría de la perturbación en QFT?

Existe una gran cantidad de literatura sobre el tema de las series asintóticas divergentes. Este artículo ofrece una visión general de la teoría desde un punto de vista práctico. Este artículo se centra en métodos que se pueden aplicar a series asintóticas de las que se conocen todos los términos, o al menos se conocen los coeficientes de los últimos términos con alguna aproximación principal. En QFT, normalmente se tienen solo unos pocos términos de una expansión de perturbación, pero incluso en ese caso se pueden aplicar ciertos métodos matemáticos para resumir la serie.

Entonces, un problema típico es que dada una expansión perturbativa de alguna función$f(g)$en potencias de algún acoplamiento$g$Queremos saber el comportamiento de$f(g)$para grande$g$, pero para grandes$g$la serie comienza a divergir muy rápido y solo tenemos unos pocos términos. Esto no es tan desesperado como parece, consideremos el siguiente ejemplo. El logaritmo de la función factorial$\log(n!)$tiene la siguiente expansión asintótica para grandes$n$:

$$\log(n!) = n\log(n) - n + \frac{1}{2}\log(2\pi n) + \frac{1}{12 n} - \frac{1}{360 n^3} + \mathcal{O(n^{-3})}$$

Supongamos que estos son todos los términos que conocemos. Queremos extraer el comportamiento de la función factorial cerca de$n = 0$utilizando sólo los términos dados. Obviamente no podemos establecer$n = 0$, los términos individuales ya divergirán. Pero lo que podemos hacer es extrapolar a$n = 0$usando sólo valores más grandes para$n$donde la serie tiene sentido. Por ejemplo, no hay problema con la inserción incluso de valores no tan grandes como$n = 1$en la serie, además puedes poner$n = 1+\epsilon$, expandirse en poderes de$\epsilon$y luego establecer$\epsilon = -1$saltar a$n = 0$. La validez de tales métodos depende entonces de suponer que la función con la que se está tratando es analítica en una vecindad de$n = 0$, y el hecho de que tengas que usar una serie divergente alrededor del infinito para llegar allí no invalida las aproximaciones.

Una forma más sofisticada de llegar al comportamiento cercano$n = 0$es aplicar una transformación conforme al parámetro de expansión. Si ponemos:

$$n = \frac{1-z}{p z}$$

y ampliar los poderes de$z$, obtenemos:

$$\begin{split} f(z) =& \frac{1}{2}\log\left(\frac{2\pi}{p}\right)+\frac{\log(p)}{p} +\frac{1-\log(p)}{p z}+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right)\log(z) -\frac{\log(z)}{p z} +\\&\left(\frac{p}{12}+\frac{1}{2 p}-\frac{1}{2}\right)z + \left(\frac{p}{12}+\frac{1}{6 p}-\frac{1}{4}\right)z^2 + \left(-\frac{p^3}{360}+\frac{p}{12}+\frac{1}{12 p}-\frac{1}{6}\right) z^3+\mathcal{O}(z^4) \end{split}$$

Ahora no hay problema con la inserción$z=1$en la serie que corresponde a$n = 0$. El resultado dependerá del parámetro auxiliar$p$, la elección óptima de este parámetro es elegirlo de tal manera que la serie tenga la mejor convergencia. Se obtiene una buena elección estableciendo el coeficiente del último término igual a cero y luego evaluando el coeficiente del coeficiente del término anterior para ver qué solución hace que ese coeficiente sea el más pequeño. Esto produce buenos resultados porque normalmente el error es del orden del último término omitido. Otra interpretación es que la respuesta no depende de$p$, pero ahora tienes un$p$dependencia debido a que solo tiene un número finito de términos. Si luego hace que los últimos términos sean lo más pequeños posible, obtendrá un resultado que para otros valores de$p$habría tenido que venir de términos de orden superior. También vale la pena considerar los términos anteriores para ver si un valor en particular produce una serie más sólida.

En este caso encuentras que$p = 0.863778859012849315368798819337$parece ser el mejor valor para usar, sería la segunda opción al considerar el valor del coeficiente de$z^2$, pero la otra solución que hace que este coeficiente sea el más pequeño produce una serie con un coeficiente que aumenta ligeramente antes de convertirse en cero para el$z^3$término.

Entonces, si luego ponemos$p = 0.863778859012849315368798819337$, podemos poner$z = 1$para estimar$0!$, Pero podemos hacer más. Podemos ampliar nuestra función de$z$alrededor$z = 1$, poniendo$z = 1-u$y ampliando los poderes de$u$. Si luego también ampliamos$n$en poderes de$u$, podemos invertir la serie para expresar$u$en poderes de$n$, entonces llegamos a una serie de$\log(n!)$en poderes de$n$. El resultado es:

$$\log(n!)= 0.0002197 - 0.577755 n + 0.823213 n^2 - 0.401347 n^3 +\cdots$$

La expansión exacta con los coeficientes a 8 cifras significativas es:

$$\log(n!) = -0.57721566 n + 0.82246703 n^2-0.40068563 n^3+\cdots$$

Claramente, se puede extraer una gran cantidad de información de series divergentes, incluso si solo tiene algunos términos. El rigor matemático debe usarse a su favor para extraer la mayor cantidad de información posible, no debe sentirse intimidado por el rigor matemático que señala obstáculos.

Creo que malinterpretas por completo la noción de divergencia de una serie de perturbaciones. Supongamos que el resultado se conoce hasta el segundo orden, entonces uno tiene algo como$f\left(\epsilon\right)=1+a\epsilon+b\epsilon^{2}+\dots$para la solución cuando$\epsilon\ll 1$. Eso está bien, y una vez que calculó las constantes$a$y$b$, sueles ver eso$b\ll a$, por lo que crees que tienes una buena expansión perturbativa.

Lo que puedes probar con la expansión de la perturbación es que para algunos puntos, obtendrás un término de siguiente orden más grande que el anterior, digamos el tercero.$c\gg b$. La serie completa divergirá, pero una solución con solo$a$y$b$son una buena aproximación de la solución.

Esto carece de rigor, pero hay que saber que no hay series convergentes en problemas interesantes de física... todos los problemas de interés están plagados de este problema. Fue descubierto por Poincaré a principios del siglo XX cuando trató de resolver el problema de los 3 cuerpos (digamos, el movimiento de la luna girando alrededor de la tierra girando alrededor del sol).

Por lo general, los matemáticos habrían escrito la solución hasta el tercer orden.

$$f\left(\epsilon\right)=1+a\epsilon+b\epsilon^{2}+\mathcal{O}\left(\epsilon^{3}\right)$$

porque saben que el próximo pedido es una pequeña cantidad. Disponen de herramientas para evaluar todos los órdenes superiores (normalmente una forma integral de la solución completa cuando el problema es una ecuación diferencial por ejemplo) y compararla con los primeros términos. Los físicos escriben en su lugar

$$f\left(\epsilon\right)=1+a\epsilon+b\epsilon^{2}+\cdots$$ porque generalmente no tienen idea de cuándo se romperá la teoría de la perturbación.

Los matemáticos demostraron que$\mathcal{O}\left(\epsilon^{3}\right)$(al tercer orden para nuestro ejemplo aquí) es de hecho grande, e incluso puede divergir para algunas aplicaciones físicas. Y qué ? Los físicos creen que uno simplemente tiene que olvidar estos términos de órdenes superiores, ya que los términos de órdenes superiores bien pueden estar controlados por una teoría más refinada, teniendo en cuenta las interacciones adicionales que se ignoraron en el modelo divergente. En cualquier caso, todo el mundo tiene algo de razón, ya que nadie sabe cómo es el modelo completo de todo el universo...

Entonces, en el corazón de la teoría de la perturbación se encuentra el método muy profundo de la física: uno toma un modelo, uno calcula algunos resultados, uno se enfrenta a experimentos... una y otra vez.