Reducir la precisión de la fracción

Digamos que tengo una fracción reducida donde el numerador y el denominador solo pueden ser números enteros:

1071283 28187739

y quiero reducirlo más, aceptando la pérdida de precisión.

Podría eliminar un número igual de enteros de la derecha:

107 2818

Sin embargo, jugar con él me muestra que puedo encontrar fácilmente una fracción que contiene la misma cantidad de números enteros pero que ha perdido menos precisión en comparación con la fracción original:

108 2842

¿Cómo puedo reducir una fracción de números enteros y perder la cantidad mínima de precisión?

Lo que necesitas son fracciones continuas simples. Esto le brinda las mejores aproximaciones con un tamaño limitado de denominador y numerador.
dieciséis / 421 está aún más cerca. Buscar convergentes de fracciones continuas.
Solo juega con wolframalpha.com/…
Una búsqueda binaria a través de los medios de Farey es rápida y fácil de recordar.

Respuestas (2)

Como se sugiere en los comentarios, utilice la descomposición en fracciones continuas.

1071283 28187739 = 1 26 + 1 3 + 1 4 + 1 1 + 1 9 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 14 + 1 2 + 1 3
Detener la descomposición antes te dará una buena aproximación, entre las fracciones con denominadores menores que el de la fracción. Esto da las aproximaciones
( 1 26 , 3 79 , 13 342 , dieciséis 421 , 157 4131 , 173 4552 , 676 17787 , 849 22339 , 1525 40126 , . . . )
Así por ejemplo,
157 4131 = 1 26 + 1 3 + 1 4 + 1 1 + 1 9

Permítanme agregar que el siguiente comando maxima da el código tex para la gran fracción continua: tex(cfdisrep(cf(1071283/28187739)));

El árbol de Stern-Brocot da una secuencia de las mejores aproximaciones racionales a un número en el sentido de que si a / b es una aproximación racional a X que no está en la secuencia, entonces la secuencia contiene una aproximación más cercana a X que tiene un denominador a lo sumo igual a b . La sucesión de Stern-Brocot incluye los convergentes de fracciones continuas , por lo que es, en cierto sentido, más general; tienes más opciones. En el caso de 1071283 / 28187739 , la sucesión consta de 72 números. El artículo de Wikipedia incluye un algoritmo para generar esta secuencia.

{ 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 , 1 10 , 1 11 , 1 12 , 1 13 , 1 14 , 1 15 , 1 dieciséis , 1 17 , 1 18 , 1 19 , 1 20 , 1 21 , 1 22 , 1 23 , 1 24 , 1 25 , 1 26 , 1 27 , 2 53 , 3 79 , 4 105 , 7 184 , 10 263 , 13 342 , dieciséis 421 , 29 763 , 45 1184 , 61 1605 , 77 2026 , 93 2447 , 109 2868 , 125 3289 , 141 3710 , 157 4131 , 173 4552 , 330 8683 , 5 03 13235 , 676 17787 , 849 22339 , 1525 40126 , 2374 62465 , 3899 102591 , 6273 165056 , 10172 267647 , 16445 432703 , 26617 700350 , 36789 967997 , 46961 1235644 , 57133 1503291 , 67305 1 770938 , 77477 2038585 , 87649 2306232 , 97821 2573879 , 107993 2 841526 , 118165 3109173 , 128337 3376820 , 138509 3644467 , 148681 3912114 , 158853 4179761 , 307534 8091875 , 456215 12003989 , 76 3749 20095864 , 1071283 28187739 }

Vea aquí una manera fácil de generar estas aproximaciones a través de una búsqueda binaria usando mediantes de Farey (incluye un ejemplo resuelto).
Hay varias similitudes entre el árbol de Stern-Brocot y la secuencia de Farey , pero una distinción que vale la pena señalar es que el árbol de Stern-Brocot contiene todos los números racionales positivos, mientras que la secuencia de Farey se limita a los números racionales en [ 0 , 1 ] .
Los medios utilizados en el algoritmo vinculado no se limitan a [ 0 , 1 ]
@BillDubuque Sí, creo que el algoritmo es el mismo que el que figura en el artículo de Wikipedia sobre Stern-Brocot.
Probablemente (no verificó). Ese es un algoritmo muy antiguo. Lo he estado enfatizando en los foros de matemáticas mucho antes de que existiera Wikipedia (los primeros días de sci.math hace unas décadas), ya que merece ser mucho más conocido.
Por ejemplo, aquí hay una publicación de 2001 , no la más antigua (ni la mejor), ya que el archivo de Usenet de Grupos de Google no incluye los primeros años. Ah por los buenos viejos tiempos...
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