¿Condición de frontera para la gravedad a escala de galaxia?

En realidad, hay dos soluciones exteriores de Schwarzschild (el nombre de solución de vacío se reserva tradicionalmente para$T_{\mu \nu}$idénticamente cero). Si uno asume$p=0$, luego de las ecuaciones de Einstein se sigue que$\varepsilon=0$, también. Por otra parte, si se supone$\varepsilon=0$, no implica necesariamente que$p=0$. La segunda solución es a diferencia de la primera, no asintóticamente plana. Por lo tanto, es una solución cosmológica. Describe el espacio-tiempo sin densidad de energía, pero con presión. La cuestión de si tal métrica exterior explicaría las curvas de rotación de las galaxias necesitaría una investigación más detallada. Especulo aquí: un espacio-tiempo sin materia pero con una tensión hidrostática media que no desaparece (= presión) podría ser un nuevo candidato interesante para la misteriosa materia oscura.

Derivación

El elemento de línea en el espacio-tiempo estático esféricamente simétrico se puede escribir como

$$\begin{equation} \label{metric} {\rm d}s^2={\rm e}^{2\nu}c^2{\rm d}t^2-{\rm e}^{2\lambda}{\rm d}r^2-r^2{\rm d}\Omega^2~, \end{equation}$$ con radio de curvatura$r$y el elemento de superficie infinitesimal${\rm d}\Omega$de 2 esferas. Los componentes métricos satisfacen las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) $$\begin{equation}\label{einstein} {\rm{R}}_{\mu}^{~\nu}-\frac{1}{2}{\rm{R}}_{\lambda}^{~\lambda}~\delta_{\mu}^{\nu}=\kappa {\rm{T}}_{\mu}^{~\nu}, \end{equation}$$ donde, en el caso de un fluido perfecto, el tensor de energía de tensión tiene forma diagonal${\rm{T}}_{\mu}^{\nu}\equiv {\rm{diag}}~\{\varepsilon,-p,-p,-p\}$. Multiplicando ambos lados de la ecuación EFE con el cuadrado del radio de curvatura de la esfera fluida$R^{2}$hace que esta ecuación sea adimensional. La presión adimensional y la densidad de energía en consideraciones posteriores son$\varepsilon\equiv {\varepsilon}~{\kappa}~c^2R^2$y$p\equiv {p}~{\kappa}~R^2$, con$\kappa$, la constante gravitacional de Einstein$8\pi G/c^4$. Las funciones de los componentes métricos$\nu$y$\lambda$dependen solo de la variable adimensional$u\equiv r^2/ R^2$y parámetro de compacidad$\alpha\equiv r_S/R$.

El requisito de presión isotrópica reduce las ecuaciones de campo de Einstein a estas tres ecuaciones diferenciales

$$\begin{equation}\label{compactform} {\rm e}^{-\lambda}\frac{\rm d}{{\rm d} u} \left( {\rm e}^{-\lambda}\frac{\rm d}{{\rm d}u}{\rm e}^{\nu}\right) = \frac{1}{4}\frac{\rm d}{{\rm d}u}\left(\frac{1-{\rm e}^{-2\lambda}}{u}\right)~{\rm e}^{\nu}~,\tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{pressure} p=\frac{4}{{\rm e}^{\nu}}\frac{{\rm d}{\rm e}^{\nu}}{{\rm d}u}{\rm e}^{-2\lambda}-\frac{1-{\rm e}^{-2\lambda}}{u}~,\tag{2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{density} \varepsilon=\frac{1-{\rm e}^{-2\lambda}}{u}-2~\frac{{\rm d}{\rm e}^{-2\lambda}}{{\rm d}u}~.\tag{3} \end{equation}$$ La primera ecuación se puede leer como una ecuación no homogénea lineal de primer orden para${\rm e}^{-2\lambda}$, o como una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden para${\rm e}^{\nu}$. Por lo tanto, en total hay tres condiciones de contorno que se pueden establecer en la superficie de la estrella ($u=1$). Expresan continuidad de métrica y requerimiento de masa total.$M$estar encerrado por una superficie esférica de área$4\pi R^{2}$. La condición de frontera para${\rm e}^{-2\lambda}$es $$\begin{equation}\label{BC1} {\rm e}^{-2\lambda}(1,\alpha)=1-\alpha~,\tag{4} \end{equation}$$ y las dos condiciones de frontera para${\rm e}^{\nu}$son $$\begin{equation}\label{BC2&3} {\rm e}^{\nu}(1,\alpha)=\sqrt{1-\alpha},\tag{5} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{{\rm d}{\rm e}^{\nu}}{{\rm d}u}(1,\alpha) = \frac{1}{4}\frac{p_{1}+\alpha}{\sqrt{1-\alpha}}~,~~~p_{1}\equiv{p(1,\alpha)}.\tag{6} \end{equation}$$ La condición de contorno (6) no es independiente. Resulta de la ecuación (2) introduciendo (4) y (5) en ella.

Resolvamos EFE para el espacio-tiempo estático con una esfera de densidad de energía constante

$$\begin{equation} \label{Schwarzschildsolution} \varepsilon =\left\{ \begin{array} {rcl} 3~\alpha & \mbox{for} & 0 \leq u \leq 1 \\\\ 0 & \mbox{for} & 1 > u \leq \infty~. \end{array}\right.\tag{7} %\right\parskip \end{equation}$$ La solución de la ecuación diferencial (3) para la función métrica$\rm{e}^{-2\lambda}$lee $$\begin{equation} \label{e-2lambda} {\rm e}^{-2\lambda} =\left\{ \begin{array}{rcl} 1-\alpha~u~ & \mbox{for} & 0\leq u \leq 1 \\ \\1-\alpha/\sqrt{u}~ & \mbox{for} & 1 > u \leq \infty~. \end{array}\right.\tag{8} \end{equation}$$ La solución de la ecuación (1) produce $$\begin{equation} \label{enulambdazero} {\rm e}^{\nu} =\left\{\begin{array}{rcl} (3/2+p_{1}/\alpha)~\sqrt{1-\alpha }-(1/2+p_{1}/\alpha)~\sqrt{1-\alpha u } & \mbox{for} & 0\leq u \leq 1 \\ \\ \Bigl(1-p_{1}/8~f(1,\alpha)\Bigr)~\sqrt{1-\alpha/\sqrt {u}}+p_{1}/8~\sqrt{1-\alpha}~f(u,\alpha)& \mbox{for} & 1 > u \leq \infty~. \end{array}\right.\tag{9} \end{equation}$$ donde función auxiliar$f$Se define como $$\begin{equation} f(u,\alpha)\equiv{15~\alpha^{2}~\sqrt{1-\alpha/\sqrt{u}}~\tanh^{-1}{\sqrt{1-\alpha/\sqrt{u}}}-15~\alpha^{2}+5\alpha\sqrt{u}+2u}.\tag{10} \end{equation}$$ porque para grandes$u$,$f(u)$se comporta como$\sim 2u$, una solución asintóticamente plana solo es posible si$p_{1}$es cero En ese caso, la métrica se reduce a la conocida solución métrica interior y exterior de Schwarzschild.

El caso especial - Universo sin materia pero con presión

Configuración$\alpha$a cero ($\varepsilon=0$) se obtiene la métrica

$$\begin{equation} \label{metricwithoutmatter} {\rm d}s^2=(1-p_{1}/4+p_{1}/4~u)^2~c^2{\rm d}t^2-{\rm d}r^2-r^2{\rm d}\Omega^2~,\tag{11} \end{equation}$$ dónde$p_{1}\equiv p(R)$y$u\equiv (r/R)^{2}$.

La presión y la densidad de energía se dan como

$$\begin{equation} \label{metricwithoutmatterpressure} p=p_{1}~{\rm e}^{-\nu}\equiv p_{1}/(1-p_{1}/4+p_{1}/4~u),~~~~~~\varepsilon=0.\tag{12} \end{equation}$$ Para$p_{1}=4$, la métrica (11) se reduce a $$\begin{equation} \label{metricwithoutmatterpressurespecial} {\rm d}s^2=(r/R)^4~c^2{\rm d}t^2-{\rm d}r^2-r^2{\rm d}\Omega^2~,\tag{13} \end{equation}$$ y la presión y la densidad de energía son $$\begin{equation} \label{metricwithoutmatterpressure2} \varepsilon=0,~~~~~~p=2~c^{4}/G\cdot 1/(4\pi r^{2}).\tag{14} \end{equation}$$ Esta solución posiblemente podría interpretarse como un agujero negro sin masa.