¿Hay algún argumento para usar el vacío θθ\theta para una teoría de Yang-Mills que funcione independientemente de la presencia de fermiones?

Question

¿Hay algún argumento para usar el vacío θθ\theta para una teoría de Yang-Mills que funcione independientemente de la presencia de fermiones?

Nombre AAAA

Considere una teoría de Yang-Mills, que posiblemente incluya fermiones. Tiene muchos vacuas posibles $\{|n\rangle\}$ etiquetado por número de bobinado entero $n$ , definida como la invariante topológica de Maurer-Cartan: para el elemento calibre $g_{(n)}$ y correspondiente transformación unitaria de calibre grande $U(g_{(n)})$ tenemos

| norte ⟩ = tu ({gramo}_{(norte)}) | 0 ⟩, norte = \frac{i}{24 π^{2}} \int_{S^{3}} d^{3} θ ϵ^{i j k} tr [{gramo}_{(norte)} \partial_{i} {gramo}_{(norte)}^{- 1} {gramo}_{(norte)} \partial_{k} {gramo}_{(norte)}^{- 1} gramo \partial_{k} {gramo}_{(norte)}^{- 1}]

$|n\rangle = U(g_{(n)})|0\rangle, \quad n = \frac{i}{24\pi^{2}}\int \limits_{S^{3}} d^{3}\theta \epsilon^{ijk}\text{tr}\big[ g_{(n)}\partial_{i}g_{(n)}^{-1}g_{(n)}\partial_{k}g_{(n)}^{-1}g\partial_{k}g_{(n)}^{-1}\big]$ ¿Cuál es el argumento más independiente de la teoría que muestra que el vacío de la teoría de norma no abeliana debe corresponder al

θ

$\theta$ -estado de vacío

| θ ⟩ = \sum_{norte = - \infty}^{\infty} {mi}^{i norte θ} | norte ⟩ ?

$|\theta\rangle = \sum_{n = -\infty}^{\infty}e^{in\theta}|n\rangle?$

Ejemplos de argumentos que no están completos para mí

Considere una teoría YM pura sin fermiones. Para argumentar por qué tenemos que usar el $\theta$ -vacío como estado fundamental, la gente muestra que el hamiltoniano $H$ no es diagonal en la base $\{|n\rangle\}$ : $⟨ norte | H | metro ⟩ ≃ {mi}^{- \frac{8 π^{2}}{{gramo}^{2}} | norte - metro |}$ $\langle n|H|m\rangle \simeq e^{-\frac{8\pi^{2}}{g^{2}}|n - m|}$ y por lo tanto, la tunelización de vacío es posible. Esto nos obliga a diagonalizar el hamiltoniano, y el $\theta$ -base de vacío es la base de la diagonal.

Pero este argumento funciona bien solo cuando la aproximación semiclásica es válida, y también solo si no se incluyen los fermiones sin masa.

El primer argumento, sin embargo, es válido solo para la teoría pura de Yang-Mills y se rompe cuando se incluyen fermiones sin masa, ya que los fermiones sin masa suprimen la formación de túneles. Luego, las personas usan un argumento basado en el principio de descomposición de grupos (o CDP). El argumento detallado se muestra, por ejemplo, en "La estructura del vacío de la teoría de calibre" de Callan Jr. Uno introduce un operador conservado ${\tilde{q}}_{5} = \int d^{3} r (j_{0, 5} - 2 k_{0}),$ $\tilde{Q}_{5} =\int d^{3}\mathbf r (J_{0,5} - 2K_{0}) ,$ dónde $K_{0}$ Se define como ${GRAMO}_{m v, a} {\tilde{GRAMO}}_{a}^{m v} = 2 \partial_{m} k^{m},$ $G_{\mu\nu,a}\tilde{G}^{\mu\nu}_{a} = 2\partial_{\mu}K^{\mu},$ y al usar este cargo muestra que el VEV del operador de quiralidad 2c distinto de cero $B(\mathbf x)$ (es decir, $[\tilde{Q}_{5}, \mathbf B(\mathbf x)] = 2c \mathbf B(\mathbf x)$ ) muestran que el VEV $⟨ norte | B (X) B^{†} (0) | norte ⟩$ $\langle n| B(\mathbf x)B^{\dagger}(0)|n\rangle$ no satisface el CDP $\underset{| X | \to \infty}{límite} ⟨ norte | B (X) B^{†} (0) | norte ⟩ = \underset{| X | \to \infty}{límite} ⟨ norte | B (X) | norte ⟩ ⟨ norte | B (0) | norte ⟩$ $\lim_{|\mathbf x| \to \infty}\langle n| B(\mathbf x)B^{\dagger}(0)|n\rangle = \lim_{|\mathbf x| \to \infty}\langle n|B(\mathbf x)|n\rangle \langle n|B(0)|n\rangle$ los $\theta$ -vacío es la solución de este problema.

Pero este argumento (su parte detallada) depende de la presencia de fermiones. Precisamente, introducimos la quiralidad y operamos con el operador de quiralidad $\tilde{Q}_{5}$ .

¿Qué quiero?

Quiero algún argumento (posiblemente puramente matemático) que muestre que debemos elegir el $\theta$ -vacío como estado fundamental de la teoría YM (si existe) independientemente del contenido de campo preciso, en particular independientemente de la presencia de fermiones sin masa. ¿Existe tal argumento?

parker

¿No demuestra esto Srednicki (sin perturbaciones y sin mencionar los fermiones) en el párrafo en medio de la pág. 593, simplemente requiriendo que el hamiltoniano sea invariante de calibre?

Respuestas (1)

¿Hay algún argumento para usar el vacío θθ\theta para una teoría de Yang-Mills que funcione independientemente de la presencia de fermiones?

¿No demuestra esto Srednicki (sin perturbaciones y sin mencionar los fermiones) en el párrafo en medio de la pág. 593, simplemente requiriendo que el hamiltoniano sea invariante de calibre?

Tomás · Answer 1

Considere a Euclides Yang Mills en $R^3\times S_1$ . La función de partición euclidiana es una suma sobre diferentes sectores topológicos etiquetados por

q = \frac{1}{32 π^{2}} \int d^{4} X {GRAMO}_{m v}^{a} {\tilde{GRAMO}}^{m v a}

$q = \frac{1}{32\pi^2}\int d^4 x \, G_{\mu\nu}^a\tilde{G}^{\mu\nu\, a}$ Ahora realice una transformada de Fourier con respecto a

q

$q$ , que es determinar la función de partición

Z (θ) = \sum_{q} e^{i q θ} Z_{q}

$Z(\theta)=\sum_q e^{iq\theta}Z_q$ . Si deseamos estudiar el estado fundamental (

T = 0

$T=0$ ) dejamos el tamaño de la

S_{1}

$S_1$ vaya al infinito, la función de partición ahora muestreará la función de onda del estado fundamental. Podemos definir los promedios de cualquier operador como

⟨ θ | O | θ ⟩ \equiv \frac{1}{Z (θ)} \sum_{q} e^{i q θ} O_{q}

$\langle\theta |O|\theta\rangle\equiv \frac{1}{Z(\theta)}\sum_q e^{iq\theta}O_q$ , que define efectivamente

| θ ⟩

$|\theta\rangle$ .

Esto parece dar una definición de la $\lvert \theta\rangle$ , pero no un argumento de por qué deberían ser el "verdadero" vacío en lugar de la $\lvert q\rangle$ . ¿Podrías elaborar un poco sobre eso?
Simplemente estoy usando el hecho de que la función de partición de QCD implica una suma sobre diferentes sectores topológicos. La aproximación semiclásica es suficiente para establecer la existencia de estos sectores, aunque no es cuantitativamente confiable para calcular su contribución.
No estoy dudando de la existencia/definición dada aquí, pero la pregunta no se limita a preguntar cómo definir el $\lvert \theta \rangle$ - ya escribe $\lvert \theta \rangle = \sum_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\lvert n\rangle$ - pero ¿por qué estos son los vacíos "verdaderos" que uno debe considerar como el estado fundamental? No has dado ningún argumento de por qué el $Z(\theta)$ son "mejores" en ser funcionales al vacío que los $Z_q$ , a menos que me esté perdiendo algo que consideres obvio.
La función de partición es automáticamente una suma sobre todos los sectores topológicos. La naturaleza puede haber optado por ponderarlos con un factor de fase $e^{i\theta q}$ , pero no tenemos evidencia de que $\theta\neq 0$ . Sin embargo, incluso para $\theta=0$ no tenemos más remedio que sumar todos los campos, y por lo tanto todos $q$ .
Ya veo. Entonces, ¿qué tiene que ver tu mención de la transformada de Fourier? ¿No debería ser el argumento más bien que la función de partición total es de la forma $\sum_q f(q) Z_q)$ y que una variante de las fuerzas de descomposición del racimo $f(q)$ ser un factor de fase exponencial a través de $f(q_1 + q_2) = f(q_1)f(q_2)$ ?
Creo que es incluso más simple que eso. Tengo una función de partición con diferentes sectores q. Quizá desee volver a ponderar estos sectores o fijar el promedio $\langle q\rangle$ . Hago esto agregando una fase. $e^{i\theta q}$ , de modo que $i\langle q\rangle =\partial Z/\partial\theta$ . Creo que el único lugar donde entra la física es que en el espacio euclidiano tenemos una fase, no una exponencial real (de modo que, dado que q es discreta, $Z(\theta)$ es periódica).

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una mente curiosa

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